Discussie

De aanleiding voor deze beschouwingen was verbazing over het feit dat, bij het vergelijken van zittingen met verschillende tops, gelijke prestaties niet gelijk beloond worden. Op zoek naar een methode die betere resultaten oplevert kwamen wij op Neuberg terecht. Het door Herman de Wael gepromote Ascherman systeem leidt tot hetzelfde wenselijke resultaat.

Inleiding

In de klassieke methode hangt de uitslag op een onbevredigende wijze af van het aantal aanwezige scores per spel. Ter illustratie hoef ik maar te wijzen op het voorbeeld ter inleiding van de bespreking van de Neubergformule.

Men kan dit probleem op verschillende manieren behandelen.

1. negeren (methode 1, proportioneel oprekken)
2. aanpakken door een "standaard" waarde voor het aantal aanwezige scores te kiezen en het resultaat van andere spellen volgens een bepaalde procedure te herleiden tot dit standaard aantal (de Neubergformule en alternatieven 4 en 5).
3. kies een maat voor de uitslag die deze afhankelijkheid van het aantal scores niet heeft (de Aschermanmethode).

Welke methode?

De puntenscore, x, op een spel is een discrete variabele met verdeling p(x_i). We nemen aan dat de kans op de uitkomst x_i onafhankelijk is van de grootte van het veld. Op een bepaald spel, bijvoorbeeld, is de kans dat slam geboden en gemaakt wordt 10%, onafhankelijk van het aantal spelers. Daaruit volgt dat de bijbehorende k_i en m_i, gemiddeld, evenredig zijn met de grootte van het veld. Alleen de methoden van Ascherman en Neuberg voldoen hieraan. Zie Ascherman, verg. 9 en verder.

De Neubergformule en de Aschermanmethode leiden tot exact dezelfde uitslag wat betreft volgorde van de deelnemers. Het enige verschil is dat de onderlinge scores bij Ascherman iets dichter bij elkaar liggen.

Misverstand over Neuberg

Er is een algemene overeenstemming dat Neuberg moet worden toegepast bij spellen binnen één zitting die een afwijkend aantal reguliere scores hebben. Dit kan veroorzaakt zijn door arbitrale scores, of doordat een spel aan een tafel niet gespeeld is, of doordat tengevolge van een dupliceerfout een spel gesplitst moet worden, of het kan gewoon zijn dat het gekozen schema spelgroepen bevat die niet even vaak gespeeld worden.

Maar in het geval dat een wedstrijd of competitie uit meerdere zittingen bestaat, waarbij het aantal deelnemers per zitting verschilt, is de consensus minder groot. Toch is het een misverstand te denken dat Neuberg hiervoor niet bedoeld is. We hebben de Neubergformule juist afgeleid uitgaande van de wens dat percentages hetzelfde horen te zijn voor een klein veld en een groot veld.

Neuberg en de NBB

De hier gepresenteerde stof is een bewerking en uitbreiding van een artikel in Wekowijzer 116 (2009), p16. Ons doel was belangstelling te wekken voor het voorstel om zittingen van parencompetities te gaan Neubergen. Op voorstel van Marc van Beijsterveld werd daar ook een beschouwing van het Ascherman systeem bij betrokken.
Herman de Wael reageerde hierop in een persoonlijke e-mail met o.a.
"heel interessant! en uiteraard helemaal correct".
De reactie van de Weko was minder enthousiast. Het artikel werd voorzien van een naschrift waarin betwijfeld werd dat of de beschreven methoden juist waren. In Wekowijzer 119 (2010), p18 kwam een wat langere reactie waarin zelfs gepoogd werd deze nieuwlichterij te verbieden. Hieruit twee citaten met daaronder mijn commentaar:
"Als we het uitgangspunt aanvaarden dat de geleverde prestatie op een bord ook afhankelijk is van het aantal scores dat op dat bord wordt vergeleken voldoet de KM (=klassieke methode) niet om zittingen met verschillende aantallen deelnemers bij elkaar op te tellen. De methode van Ascherman voldoet dan wel."

• Ons pleidooi, om bij het vergelijken van zittingen rekening te houden met het aantal deelnemers, moet los gezien worden van de keuze tussen Neuberg en Ascherman. Immers beiden leiden tot het gewenste resultaat.
• De Weko gaat niet in op het hoofdonderwerp van het artikel en verzuimt een standpunt te bepalen omtrent ons voorstel om zittingen van parencompetities te gaan Neubergen. Alleen het veel verder gaande alternatief van Ascherman wordt genoemd. Zodoende wordt het kind met het badwater weggegooid.

"Tenslotte is in de spelregels de KM expliciet voorgeschreven en slechts bij uitzondering de bevoegdheid geregeld dat het bondsbestuur andere methoden kan toestaan. Zolang het bondsbestuur de methode Ascherman niet heeft goedgekeurd is deze dus niet toegestaan."

• Dat de spelregels de KM expliciet zouden voorschrijven is onjuist. Artikel 78A legt de grondslag van de "scoremethode op basis van matchpunten", maar sommige details, zoals het omzetten van matchpunten in procenten en de behandeling van spellen met verschillende tops worden vrijgelaten. Een soortgelijk "open einde" treffen we aan in artikel 87B. Volgens Max Bavin, verderop geciteerd, is hiervoor bewust gekozen. Er is dus niets expliciet voorgeschreven.
• Als er al toestemming nodig zou zijn voor een verdere invulling, dan geldt dat niet alleen voor Neuberg of Ascherman, maar evenzeer voor de KM.
• De opmerking verwijst verder naar art. 78D
  Indien zij zijn goedgekeurd door het Bondsbestuur, mogen andere scoremethoden (bijvoorbeeld omzetting in wedstrijdpunten) toegepast worden.
  Het bondsbestuur tekent hierbij aan: Het BB keurt tot nader order goed dat een toernooiorganisator andere scoringsmethoden hanteert.
  Die toestemming is dus al bij voorbaat gegeven.

De WBF adviseert het gebruik van Neuberg al vele jaren en het Wedstrijdreglement van de Nederlandse Bridge Bond, neemt die aanbeveling over:
"In een wedstrijd waarin de score per spel wordt uitgedrukt in MP wordt de formule van Neuberg gebruikt als het aantal te vergelijken resultaten niet op ieder spel even groot is."
Voor spellen die tot verschillende zittingen behoren geldt dit blijkbaar niet, hoewel deze uitzondering niet genoemd wordt in het wedstrijdreglement. Het standpunt van de Weko is waarschijnlijk ongewijzigd sinds Wekowijzer 77 (2000), p37 waar Sytze Sietsma schrijft:
Wanneer op een clubavond een combi-tafel gespeeld wordt, dan is er een theoretische vraag hoe de resultaten van de hoofdgroep en de combi- tafel bij elkaar geteld moeten worden. Worden de resultaten van de combi-tafel proportioneel opgeblazen of worden ze met behulp van de formule van Neuberg opgeblazen? Het standpunt dat de Weko heeft ingenomen is van algemenere aard, dan alleen het geval van de combi-tafel. Wanneer er scores vergelijkbaar gemaakt moeten worden binnen de parameters van één zitting dan wordt Neuberg gebruikt. In alle andere gevallen worden de scores proportioneel met elkaar vergeleken, zoals ook gebeurt bij het gewogen zittingen optellen. In deze context geldt de combi-tafel als een aparte zitting en moeten de scores dus proportioneel worden opgeblazen.
Waarom toch dit onderscheid tussen wel of niet "binnen de parameters van één zitting"? Sinds lang heeft bij het samenvoegen van zittingen het "gewogen gemiddelde" algemeen ingang gevonden. Dit betekent dat alle spellen even zwaar wegen en het bij een verschillend aantal spellen niet uitmaakt of ze wel of niet tot één zitting behoren. Bij zittingen met een verschillend aantal deelnemers Neuberg te gebruiken, is een verfijning van dezelfde orde. Ook daarmee vervalt het onderscheid tussen spellen binnen één zitting en binnen verschillende zittingen. Het thans gevoerde beleid om spellen in verschillende zittingen proportioneel op te rekken en spellen in dezelfde zitting te Neubergen is niet consequent. Bij het combineren van zittingen worden ze in feite samengevoegd tot één wedstrijd. We hebben dus ook hier te maken met spellen met een ongelijk aantal scores die deel uitmaken van dezelfde wedstrijd. Neuberg gebruiken dus, conform het wedstrijdreglement.

De combitafel.

De bovengenoemde combitafel vormt een geval apart. Als er op een club verschillende lijnen zijn, die ieder hun eigen competitie spelen, kan het voorkomen dat twee lijnen beiden een oneven aantal paren hebben. Men neemt dan een extra tafel in gebruik, de combitafel, waaraan de paren spelen die anders een rusttafel zouden hebben. De combitafel heeft een eigen spelgroep. De paren van de ene lijn zitten altijd NZ en die van de andere lijn OW. De combitafel is op te vatten als een extra zitting met maar één tafel en met aparte NZ en OW winnaars. De scores van de combitafel kunnen worden gecombineerd met die van de normale lijn. Als de spellen aan de combitafel een ander aantal keren gespeeld zijn dan de reguliere spellen ligt gebruik van Neuberg voor de hand.

Er doet zich dan wel een practisch probleem voor. Als het aantal scores aan de combitafel groter is dan aan de reguliere tafels, zou je na conversie met Neuberg resultaten groter dan 100% of kleiner dan 0 kunnen krijgen. Dat is niet verwonderlijk maar het doet toch bij sommigen de wenkbrauwen fronsen. "daar beginnen we dus niet aan" (S. Sietsma, Wekowijzer 77). Met Ascherman treedt dit effect niet op.

Terzijde.

Ook op Stepbridge zijn negatieve scores een normale zaak, als gevolg van de compensatie als spelers van ongelijk niveau met elkaar spelen.

De invoering van negatieve getallen stuitte ook vroeger al op verzet. Zie wikipedia:
Lange tijd werden negatieve oplossingen voor problemen als "verkeerd" beschouwd. In het Hellenistische Egypte verwees de Oud-Griekse wiskundige Diophantus in zijn Arithmetica in de derde eeuw n.Chr. naar een vergelijking die gelijkwaardig was aan 4x + 20 = 0 (deze vergelijking heeft een negatieve oplossing) als zijnde een absurde vergelijking.

Implementatie in scoreprogramma's

De meeste scoringprogramma's gebruiken Neuberg al bij arbitrale scores en andere gevallen waarbij binnen één zitting scores met een afwijkende top voorkomen. Om Neuberg ook toe te passen op competities van meerdere zittingen die niet alle dezelfde top hebben, zijn waarschijnlijk maar kleine wijzigingen nodig. Beschouw bijvoorbeeld het NBB-Rekenprogramma (en het nauw verwante programma Bridge-It). De verwerking van de competitiezitting kan precies zo blijven als het nu is (afgezien van de aanpak van de combitafel). De zitting levert een resultaat op in de vorm van een uitslag in procenten. Deze uitslag maken we bekend op de website of anderszins. Pas bij de verwerking in de competitiestand gaan we deze procenten converteren, met behulp van formule (6). Dit zal in het begin verbazing wekken bij de spelers. Er staat bijvoorbeeld in de zittingsuitslag 60.0% en in de competitiestand 59.5. Dit is wel uit te leggen, bijvoorbeeld "De beloning van de resultaten voor de competitiestand hangt voortaan ook af van het aantal deelnemers. We normaliseren alles op 16 paren per zitting. Vandaag waren er maar 12 paren, vandaar dat een kleine correctie is toegepast."
Bij het opzetten van de competitie dient er verder een keuzemogelijkheid te zijn voor de waarde van N. Deze waarde moet natuurlijk voor alle competitieronden gelijk zijn.

Invoering van Ascherman zou een veel radicalere breuk met het verleden betekenen. We gaan verder niet in op de praktische implementatie hiervan.

Anderen over Neuberg bij het samenvoegen van zittingen

Onder de experts is het gebruik van Neuberg, ook bij het samenvoegen van zittingen, een vanzelfsprekende zaak.

• Max Bavin schrijft over de Neubergformule:
  However, it is acknowledged that there are difficulties, not the least being:-
  (a) it is difficult (very difficult) to understand; and
  (b) it is even more difficult (though not impossible) to perform such calculations without the aid of a computer.
  For this reason, and for this reason alone, the formula has not been written into the Laws of Bridge as a "must do it this way".
  http://www.ebu.co.uk/documents/laws-and-ethics/articles/neuberg-formula.pdf

  Enkele verdere citaten:

• A similar method can be used for example in a club competition when it is desired to give equal weight to scores achieved over a number of sessions, but there were different numbers of tables at each session. http://en.wikipedia.org/wiki/Neuberg_formula
• All methods are legal.
  EBU regs and current software require #1 ( = Neuberg, P.S.), which Max Bavin and Herman De Wael recommend.
  (David Stevenson over "Combining sessions with different tops") http://blakjak.org/lwz_ste0.htm
• Indeed in a personal conversation with Gerard Neuberg in April 1992, he confirmed that it is his opinion too, that the formula that is generally known under his name, should be used whenever different boards have obtained different numbers of results, regardless of the reason why this occurred.
  (Herman De Wael over hetzelfde onderwerp) http://www.hermandw.be/bridge/calcula/calcul27.html

Slotopmerkingen

Als je graag wil dat een door 3 paren gedeelde top in een veld van 10 paren dezelfde score oplevert als een door 30 paren gedeelde top in een veld van 100 paren kom je vanzelf terecht op Neuberg of Ascherman.

Geen van de besproken methodes houdt rekening met een mogelijk verschil in gemiddelde sterkte tussen de beschouwde subgroep en het gehele veld.

Zoals we zagen is implementatie van de Neuberg methode eenvoudig uit te voeren en eenvoudig uit te leggen. Dit is dan ook de aangewezen oplossing voor degenen die zoveel mogelijk willen vasthouden aan de oude beproefde methoden.

Het is duidelijk dat ook de methode Ascherman meer belangstelling verdient. Het uitrekenen is een stuk eenvoudiger, maar dat speelt in het huidige computertijdperk geen rol. Het grote voordeel is dat de behandeling van uitzonderingsgevallen binnen één zitting en ook het combineren van zittingen, op een natuurlijke, vanzelfsprekende manier verloopt.

De NBB heeft nooit serieus aandacht aan de Aschermanmethode besteed. Aan Herman De Wael is het te danken dat de methode leven is ingeblazen en niet in vergetelheid is geraakt. In België wordt zij al tientallen jaren gebruikt.

Ascherman kwam met zijn ideeën 65 jaar geleden. De stelling dat in Nederland alles 50 jaar later gebeurt is dus wat optimistisch.