Neuberg is niet moeilijk

Als in een parenwedstrijd met matchpoint scoring spellen voorkomen met een verschillend aantal scores wordt bij voorkeur de methode van Neuberg gebruikt om de scores te combineren. Veel mensen vinden deze methode onbegrijpelijk. Aan de hand van voorbeelden laten we zien dat het best wel een voor de hand liggende oplossing is. We geven een eenvoudige afleiding.

Inleiding

Er waren eens op een clubavond maar 6 paren aanwezig, zodat ieder spel maar 3 keer gespeeld werd. De week daarop waren er 12 paren en werd ieder spel 6 keer gespeeld. We beschouwen eens van elk van die twee zittingen één frequentiestaat. Alleen de NZ scores worden weergegeven.

zitting 1        3 tafels					zitting 2        6 tafels
score	aantal	MP	procent		score	aantal	MP	procent
430	1	4	100		430	2	9	90
400	1	2	50		400	2	5	50
-50	1	0	0		-50	2	1	10

Valt u iets op? Er zijn links 3 verschillende scores die ieder even vaak voorkomen en rechts ook. Toch zijn de uitslagen links en rechts ongelijk. Dat is nu eenmaal een eigenschap van de manier waarop het scoren bij paren werkt, en er zou niets aan de hand zijn als het twee losse drives waren. Maar stel dat ze onderdeel zijn van een competitie van meerdere zittingen. Dan heeft een paar dat de eerste avond 430 scoorde en de tweede avond -50 gemiddeld 55% en een paar dat de eerste keer -50 scoorde en de tweede keer 430 gemiddeld 45%. Gelijke prestaties worden dus niet gelijk beloond.

Dat moet beter kunnen. Natuurlijk willen we dat ieder spel even zwaar meetelt, maar we kunnen wel iets aan de procentscores doen. De oplossing ligt voor de hand: geef voor zitting 1 dezelfde percentages als voor een vergelijkbare zitting met 12 paren, zoals zitting 2. Ook als de scoreverdeling wat ingewikkelder is, is het recept eenvoudig. 50% laten we 50%, en in zitting 1 vermenigvuldigen we het verschil met 50% met een factor 0,8.

Bovenstaande is een voorbeeld van de methode van Neuberg voor het combineren van uitslagen wanneer niet alle spellen even vaak gespeeld zijn. Vaak wordt gesteld dat Neuberg moeilijk en ingewikkeld is, maar in feite is het niet meer dan een consequente toepassing van bovenstaande gedachtegang.

Of, om een ander voorbeeld te geven, de wens dat een door 3 paren gedeelde top in een veld van 14 paren gelijk staat met een door 30 paren gedeelde top in een veld van 140 paren, leidt automatisch tot de methode van Neuberg.

Afleiding

In het volgende noemen we

n = het aantal werkelijk aanwezige scores

N = het aantal scores dat aanwezig zou moeten zijn

P_n = het percentage vóór Neuberg, bij een normale berekening met n scores

P_N= het percentage bij een herleiding tot N scores.

De formule die we zoeken moet de volgende vorm hebben:

PN = (Pn − 50) ·A + 50

(1)

Immers, daarmee is voldaan aan de eis: als P_n = 50, dan is ook P_N = 50.
Ons rest nog het getal A te bepalen, voor gegeven waarden van N en n.

In het bijzondere geval dat N precies 2 keer n is, zoals in de inleiding, willen we dat een volle top voor het spel met n scores (P_n=100) equivalent is aan een door 2 paren gedeelde top bij N scores. Of, meer algemeen, als N/n een geheel getal is, zeg m, dan moet P_n=100 overeenkomen met een door m paren gedeelde top bij N scores.

Een volle top is 2N−2 matchpunten. Een door 2 paren gedeelde top 2N−3. In het algemeen: een door m paren gedeelde top is 2N−1−m matchpunten.
Een door m paren gedeelde top levert dus een percentage op van

PNtop(m)  =  100 · 2N − 1 − m 2N −2

(2)

Om onze gewenste P_N te krijgen stellen we hierin m=N/n

PNtop(N/n)  =  100 · 2N − 1 − (N/n) 2N −2

(3)

Verder zien we uit vergelijking (1) dat voor P_n = 100

PNtop = 50 ·A + 50

(4)

Door gelijkstellen van (3) en (4) lossen we A op en we vinden dan

A = n−1 n · N N −1

(5)

Wat te doen als N/n geen geheel getal is? De eenvoudigste oplossing daarvoor is om deze formule te generaliseren en ook dan te gebruiken! Hiermee wordt vergelijking (1)

PN = (Pn − 50) · n−1 n · N N −1 + 50

(6)

Dit is de formule van Neuberg.
Meestal wordt deze relatie uitgedrukt in matchpunten. Als we P_N en P_n uitdrukken in de bijbehorende matchpunten S_N en S_n,

PN = 100 · SN 2N − 2

(7)

Pn = 100 · Sn 2n − 2

(8)

en invullen in (6) levert dit na wat algebra:

SN = (Sn + 1) · N n −1

(9)

Dit is een meer bekende vorm van de Neubergformule. Maar wat we willen bij het bekend maken van de uitslag zijn toch de procenten. De Neubergformule, uitgedrukt in procenten (6), maakt de tussenstap via matchpunten overbodig. Formule (6) is ook heel geschikt om een hele zitting te "Neubergen" bij het combineren van zittingen met verschillende aantallen deelnemers, of meer algemeen, verschillende tops.

Samenvatting en conclusies

We hebben de Neubergformule afgeleid op basis van de postulaten:
Het verband tussen P_N en P_n is lineair (geen kwadraten of erger)
Bij de waarde 50% zijn P_N en P_n gelijk
Als N een geheel aantal malen n is correspondeert de top bij n scores met een door N/n paren gedeelde top bij N scores.
Voor andere gevallen generaliseren we dat idee door dezelfde afhankelijkheid van N en n te gebruiken.

In de literatuur komt de Neubergformule meestal uit de lucht vallen. We zien hier dat er een eenvoudige en logische verklaring is voor deze formule.