De Ascherman methode

De Ascherman methode is een alternatieve methode voor de waardering van parenwedstrijden. We laten hier zien dat er een nauw verband is met Neuberg. De Ascherman methode maakt het gebruik van de Neubergformule overbodig.

Procenten volgens Ascherman

Voor het berekenen van het resultaat van spellen met een verschillend aantal scores kunnen we de Neuberg methode gebruiken, zoals we eerder zagen. We bekijken nu een andere methode die hiermee nauw verwant is, de Ascherman methode. Bij het herleiden van percentages van n naar N scores geldt volgens Neuberg:
PN = (Pn − 50) · n−1

n
· N

N −1
+ 50
(1)
Bij Ascherman gebruiken we in plaats daarvan:
PA = (Pn − 50) · n−1

n
+ 50
(2)
Het leuke van dit percentage volgens Ascherman is dat het niet toe doet wat we voor N kiezen. Immers N komt niet in de formule voor.
Ons voorbeeld bij de bespreking van Neuberg:

zitting 1        3 tafels   zitting 2        6 tafels
score aantal MP procent   score aantal MP procent
430 1 4 100   430 2 9 90
400 1 2 50   400 2 5 50
-50 1 0 0   -50 2 1 10
gaat er met deze versie van het percentage als volgt uitzien

zitting 1        3 tafels   zitting 2        6 tafels
score aantal MP procent   score aantal MP procent
430 1 4 83.3   430 2 9 83.3
400 1 2 50   400 2 5 50
-50 1 0 16.7   -50 2 1 16.7
We zien hier twee dingen gebeuren:
1. De percentages zijn onafhankelijk van het aantal scores dat we hebben.
2. De percentages liggen dichter bij de 50%.
Het eerste is natuurlijk het meest interessante aspect. Een gevolg is dat de waarderingen van spellen met verschillende aantallen scores direct vergelijkbaar zijn. Bij het converteren naar een ander aantal scores hoeven we niets te veranderen aan de procentuele scores. Dit maakt het hele gebruik van Neuberg overbodig. Ascherman is het limietgeval van Neuberg voor N → ∞. Als N oneindig groot wordt zijn formules (1) en (2) gelijk. Neuberg zit dus al ingebakken in de methode
Het tweede is wel even wennen. De mogelijke percentages op een spel lopen nu niet van 0 tot 100 maar van 50/n tot 100 − 50/n. Pas als het aantal scores oneindig groot wordt zijn de 0 en de 100 bereikbaar.

Matchpunten

In de klassieke scoringmethode gebruiken we matchpunten S = 0, 2, ... 2n−2. De percentage scores worden berekend met
Pn = 100 · S

2n−2
(3)
Om dit te converteren naar Ascherman percentages hebben we dan met (2)
PA = (100 · S

2n−2
−50 ) · n−1

n
+ 50
(4)
Na uitwerken wordt dit
PA = 100 · S + 1

2n
(5)
In de Ascherman methode is het gebruikelijk om andere matchpunten te nemen namelijk lopend vanaf 1: SA = 1, 3, ... 2n−1. Met andere woorden
SA = S+1
(6)
We zien uit (5) en (6) dat
PA = 100 · SA

2n
(7)
Merk op dat we het percentage volgens Ascherman net zo goed met (5) als met (7) kunnen uitrekenen. Het invoeren van de Ascherman matchpunten (6) is dus niet essentiëel voor de Ascherman methode

Zoals we zagen hoeven we voor het herleiden van de procentuele scores naar een andere groepsgrootte helemaal niets te doen. De procentuele scores zijn immers gelijk. Als we met matchpunten werken wordt het equivalent van de Neubergformule (vergelijking (10) in Neuberg)

SNA = SnA · N

n
(8)
ofwel, bepaal de Ascherman matchpunten in de afzonderlijke groep met n scores en vermenigvuldig het resultaat met N/n. Ook bij een handmatige scoreberekening eenvoudig te doen.

Een andere kijk op Ascherman.

We hebben Ascherman gevonden als een grensgeval van Neuberg. Uitgaande van het voorschrift van artikel 78A van de spelregels is er een directere manier om op Ascherman terecht te komen. Stel we hebben op een spel in totaal n scores, waarbij een zekere score m keer voorkomt en er k lagere scores zijn, dan zagen we dat de matchpunten behorende bij deze score zijn
S = 2k + m - 1
(9)
In de klassieke methode krijgen we met formule (3) een percentage van
Pn = 100 · 2k + m - 1

2n−2
(10)
We zien meteen dat dit niet netjes schaalt met de grootte van het veld. Dat wil zeggen als k, m en n ieder met dezelfde factor vermenigvuldigd worden zou je graag willen dat P constant bleef. Een voor de hand liggende oplossing om dit te bereiken is om die -1 en -2 weg te laten, dus te gebruiken:
PA = 100 · 2k + m

2n
(11)
en dit nu is precies Ascherman! Zie vergelijking (5).

In de Aschermanmethode leveren de getallen ak, am, an (met a constant) precies dezelfde score op als de getallen k,m,n. We kunnen dit schrijven als

PA(ak,am,an)  =  PA(k,m,n)
(12)

Een voorbeeld: Neem een spel waarbij steeds precies de helft van de deelnemers 1 down gaan (de anderen maken het contract). Met de klassieke methode levert dat bij 2 paren een 0 op, bij 4 paren 16,67%, bij 6 paren 20%, bij 10 paren 22,22% ...
Met de Aschermanmethode is de score in alle gevallen 25%.

De klassieke methode heeft deze fraaie eigenschap niet. Wel is eenvoudig in te zien dat substitueren van (ak, am, an) voor (k, m, n) in formule (10), met a=N/n, de formule van Neuberg oplevert.

Een variant uit Noorwegen

Sven Pran beschrijft op BLML een methode die in Noorwegen gebruikt wordt.
In plaats van (9) worden hierbij de matchpunten gedefinieerd door
SN= 2k + m - n
(13)

zodat de matchpunten symmetrisch rond 0 zijn en lopen van -(n - 1) tot +(n - 1).

Als we dit delen door n krijgen we weer een maat voor de prestatie die onafhankelijk van N is, zoals in de originele Aschermanmethode.
Ook vergelijking (8) geldt weer.

http://lists.rtflb.org/pipermail/blml/2014-April/016592.html
http://lists.rtflb.org/pipermail/blml/2014-April/016600.html

Historie

De Nederlander W. Ascherman introduceerde deze methode in 1949 in het tijdschrift "Bridge", als "een algemeen geldende juiste waarderingsmethode, onafhankelijk van de waarde van n". Terloops presenteerde hij ook nog even de formule die Neuberg vele jaren later zou herontdekken. Zijn slotzin luidde "Het is dus wel gewenst dat de bestaande regeling ten spoedigste wordt vervangen". De Nederlandse beleidsmakers zijn hier niet op in gegaan. In België heeft de Ascherman methode wel ingang gevonden, dank zij het werk van Herman De Wael.
Inhoud



Formulae translated from TEX by TTH, version 4.03.