De Balans

Waarom balans?

In een parenwedstrijd kom je meestal niet alle paren tegen. Bijvoorbeeld bij 12 paren zijn er 11 ronden nodig om alle tegenstanders te kunnen ontmoeten. Op een clubavond zijn er vaak maar 6 ronden. Na 2 avonden heb je dan misschien tegen alle andere paren gespeeld, maar tenminste tegen één paar twee keer. Kortom een evenwichtig systeem van ontmoetingen is vaak onmogelijk.

Maar niet alleen welke tegenstanders je ontmoet is bepalend. Als je een bepaald spel als NZ speelt zijn de paren die dit spel ook als NZ spelen indirect jouw tegenstanders. Immers als zij het beter doen dan jij gaat jouw score omlaag en vice versa. Omgekeerd zijn de OW paren jouw medestanders. Als zij het goed doen is dat juist goed voor jouw score.

Wat een wedstrijdschema met een goede balans nu probeert is er voor te zorgen dat je effectief even vaak (of beter gezegd met hetzelfde gewicht) vergeleken wordt met alle andere paren. Dit ideaal is vaak niet bereikbaar. Maar wel blijkt dat veel bestaande schema's met eenvoudige ingrepen zo veranderd kunnen worden dat de balans een stuk beter wordt.

Enkele misvattingen over de balans

Het is belangrijker met wie je vergeleken wordt dan tegen wie je speelt.

Nee hoor, als je een top haalt krijg je ook een topscore. Van de andere kant, als een paar waarmee je vergeleken wordt een top haalt krijg je niet direct een 0, maar wordt je score op dat spel maar een beetje lager. Pas als alle paren waar je mee vergeleken wordt het beter doen dan jij krijg je een 0.
In een wedstrijd waarbij het aantal paren veel groter is dan het aantal ronden - zoals een kroegendrive - is het doorslaggevend tegen wie je speelt. Alleen bij wedstrijden waar het aantal ronden groter of gelijk is aan de helft van het aantal paren kan het wel of niet spelen tegen een paar volledig gecompenseerd worden door vaak spelen in dezelfde of tegengestelde windrichting.

Als ieder paar even vaak met ieder ander paar vergeleken wordt is het schema in balans

Stel dat inderdaad alle paar-paar combinaties even vaak in gelijke als in tegengestelde windrichting spelen, maar ieder paar ontmoet slechts de helft van het aantal deelnemers dan is er geen sprake van een balans. Van de andere kant, als de deelnemers die je niet ontmoet veel vaker in dezelfde windrichting spelen als jij dan kan mogelijk wel een redelijke balans bereikt worden. Zoals we zullen zien is er een methode om een effectieve vergelijking te maken die met al deze effecten rekening houdt.

... met wie je vergeleken wordt ...

Deze term wordt vaak losjes gehanteerd (zoals ook in bovenstaande stellingen) waarbij de spreker uit het oog verliest dat het effect van spelen in gelijke windrichting ("vergeleken worden") net zo groot is (maar de andere kant op werkt) als het effect van spelen in tegengestelde richting. Voor het opmaken van de balans moeten beide in rekening gebracht worden. Bovendien, de som van het aantal keren spelen in gelijke en in tegengestelde richtingen is niet automatisch gelijk voor iedere combinatie van 2 paren. Het maakt daarbij verschil of ze een directe ontmoeting hebben.

... anders gezegd ...

Dat vergelijken werkt van 2 kanten. Als een zelfde spel zowel door paar x als paar y in OW gespeeld wordt worden hun resultaten vergeleken. Doet x het beter dan y dan krijgen ze meer matchpunten. Maar ook als x NZ zit en y OW worden hun prestaties vergeleken. Stel bijvoorbeeld dat x als NZ 3H+1 maakt, maar y als OW houdt de tegenstanders op 3H contract. Dan is dat gunstig voor x. Paar x krijgt meer matchpunten dan wanneer paar y ook 3H+1 had laten maken. Als je het over vergelijken hebt moet je niet alleen kijken naar paren in dezelfde windrichting maar ook naar paren in tegengestelde windrichting.

In het eerste geval, beiden zelfde windrichting, een slecht resultaat van x is gunstig voor y
In het tweede geval, tegengestelde windrichting, een goed resultaat van x is gunstig voor y.

De impact is in beide gevallen even groot, maar een stuk kleiner dan van een directe ontmoeting (we zullen versop zien hoeveel kleiner). Voor de balans moeten dus twee paren die een directe ontmoeting hebben (een slecht resultaat van x is gunstig voor y) relatief veel vaker in tegengestelde windrichting zitten (een goed resultaat van x is gunstig voor y) om de directe ontmoeting te compenseren. We zullen zien dat als gevolg hiervan er verrassend weinig draaironden nodig zijn in een draaiende Mitchell of Scheveningen.

Het programma balans

Voor het controleren en verbeteren van de balans in parenschema's is een programma ontwikkeld. We beschouwen hier eerst de theorie, vervolgens de implementatie in het programma 'balans' en tenslotte enkele toepassingen.

Als u niet in technische details geinteresseerd bent kunt u de volgende paragrafen overslaan en direct doorgaan naar Resultaten. Het is wel van belang te weten dat als kenmerk van de kwaliteit van een schema de kwaliteitsfactor gebruikt wordt. Dit is een getal Qf dat waarden tussen 0 en 100 kan aannemen. Als je de kwaliteitsfactor door 10 deelt krijg je iets wat goed te vergelijken is met een Nederlands rapportcijfer: 6 of minder is matig tot slecht, 8 is goed, 9 of hoger is uitmuntend.

Theorie.

Noem
P = aantal paren (even)
r = aantal ronden

t = P/2 = aantal keer dat een spel gespeeld wordt
b = aantal spellen per ronde
h = t-1 is halve top op een spel
N = P * (P-1) /2 = aantal mogelijke combinaties van 2 paren.
S = t * r * b * h = "amount of competition"

We nemen verder voor het gemak b=1 (maakt voor de balans niet uit).
Bereken voor ieder van de N mogelijke combinaties van paren, een score die de som is van bijdragen van ieder spel, als volgt: De som van deze N scores is S

We noemen nu SS = de som van de kwadraten van al deze scores, en dit getal willen we minimaliseren om de balans te optimaliseren.

De boven uiteengezette methode is ontleend aan
http://chrisryall.net/memories/john.manning.htm
F.C. Schiereck, Goot Schemaboek N.B.B. Versie 2002

De kwaliteitsfactor: Qc, Qf, Qo.

We willen SS vergelijken met een schatting van de waarde voor een perfecte balans. De gemiddelde score voor een combinatie van paren is S/N, en als ieder punt deze waarde zou hebben zou gelden SS = N * (S/N)² oftewel S2 / N. Het ligt dus voor de hand de kwaliteitsfactor te definieren als
Qc = 100· S2

N·SS
Dit getal wordt dus 100 voor een perfecte balans.

Een gewijzigde versie van deze kwaliteitsfactor houdt er rekening mee dat de scores gehele getallen zijn, zodat ze niet exact gelijk aan S/N kunnen worden, immers S/N is meestal geen geheel getal. We proberen nu een set van N gehele getallen te vinden waarvan de som gelijk is aan S en waarvan de som van de kwadraten minimaal is. Dit minimum van de som van de kwadraten gebruiken we in plaats van S2 / N in bovenstaande formule. We houden deze gewijzigde versie, Qf genaamd, maar aan om vergelijking met de resultaten van Van der Velde en Schiereck mogelijk te maken.
Het verschil tussen Qc en Qf is meestal niet erg groot.

Daarnaast definiren we ook voor de ontmoetingen een kwaliteitsfactor Qo. Qo=100 als alle paren elkaar even vaak ontmoeten. De berekening van Qo gaat zoals die van Qc, met als enige verschil dat we bij de berekening van S en SS (zie boven) enkel en alleen de bijdragen +h meenemen van paren die tegen elkaar spelen.

Verdere opmerkingen.

John Manning gebruikt als criterium voor de balans de spreiding van de scores rondom het gemiddelde, uitgedrukt in de standaarddeviatie
sd =

 

(SS −S2/N)/ N
 
Anders dan bij de Qf is het hier "hoe kleiner hoe beter". Het is eenvoudig aan te tonen dat het minimum van de som van de kwadraten SS samenvalt met het minimum van de standaarddeviatie en met het maximum van Qc en Qf.
Het verband tussen Qc en sd is
sd = S

N
·

 

(100 − Qc)/ Qc
 
De scores kunnen worden gerepresenteerd in een P bij P matrix, de zogenaamde scorematrix. Dit is een symmetrische matrix waarvan de diagonaal ongedefinieerd is. Ieder element geeft de onderlinge score weer van twee paren.

In navolging van Schiereck en Manning gebruiken we hier het woord 'score', mogelijk een verwarrende term. Als de combinatie paar1-paar2 een hoge score heeft betekent dat "een goed resultaat voor paar1 is slecht voor paar2", en vice versa. 'Correlatie' was misschien een beter woord geweest.

Waarom nou juist gewichtsfactoren h en 1?

PaarContractRes.Score  MP  
NZ OW NZ OW
13 SA   C +600  3
2 - 1 -   -600 5
33 SA   C +600  3
4 - 3 -   -600 5
53 SA   C +600  3
6 - 5 -   -600 5
73 SA   +1 +630  8
8 - 7 -   -630 0
93 SA   C +600  3
10 - 9 -   -600 5
Een voorbeeld moge dit duidelijk maken. Stel dat op een bepaald spel het hele veld in 3SA contract zit, behalve aan jouw tafel waar de tegenstanders een overslag maken. Je krijgt nu een 0 in plaats van een middenscore, een verschil van een halve top h. Op een ander spel zitten die tegenstanders in dezelfde lijn als jij en maken weer als enige een overslag. Als alle resultaten op dat spel gelijk waren geweest zou je h gescoord hebben, nu wordt dat h-1. De invloed van de top die de tegenstanders halen is nu dus h keer zo klein.

Zie de scorekaart hiernaast. Het gemiddelde aantal MP is h=4. Omdat paar 7 een top haalt krijgen de andere paren in dezelfde windrichting 1 MP minder, en de paren in tegengestelde windrichting 1 MP meer.

In andere woorden: wat betreft de invloed op de score is een keer tegen een paar spelen equivalent met h keer spelen in dezelfde windrichting als dat paar.

Oneven aantal paren.

Bovenstaand formalisme is ook goed toe te passen op het geval dat het aantal paren oneven is. Dan wordt t = (P-1)/2, maar de rest blijft hetzelfde. In de praktijk werkt men dan meestal met een schema voor een even aantal, dat 1 hoger is dan het werkelijke aantal paren, en wijst daarin een paar aan als afwezig.

De vacancy quality.

De kwaliteitsfactor zegt niet alles over de kwaliteit van een schema. Meestal bestaan er een grote hoeveelheid schema's met dezelfde Qf. Te beginnen met versie 7 van balans (2017) gaan we een stap verder en bekijken we ook systematisch de kwaliteit van een schema wanneer er een paar afwezig is. Het gemiddelde voor alle mogelijke keuzes van het afwezig paar blijkt een goede manier te zijn om onderscheid te maken tussen schema's met een gelijke Qf. We behandelen dit onderwerp op een aparte bladzijde.

Hogere momenten.

Een ander onderscheid tussen schema's die een gelijke Qf hebben kan zijn dat in een van de schema's een uitbijter (extreem hoog of laag getal) voorkomt, die dan gecompenseerd wordt door een aantal getallen die dichter bij het gemiddelde liggen. Om dit tegen te gaan kun je ook hogere momenten van de scoreverdeling er bij betrekken. Als de Qf niet verder verbetert, probeert het programma het bijbehorende minimum te vinden van de som van de 4e machten van alle scores minus de gemiddelde score. In formule:
S4 =

j 
( scorej − S/N )4
Dit levert inderdaad in een aantal gevallen een kleine verbetering, maar meestal is de optimalisatie van de vacancy quality effectiever..

Andere modellen.

Behalve het beschouwen van de verdeling van ontmoetingen en het spelen in gelijke en tegengestelde windrichtingen zijn er ook andere methoden om de kwaliteit van een schema te onderzoeken. Wij noemen hier, in volgorde van gecompliceerdheid, In al deze modellen wordt er gekeken hoe de eindscore (in MP of procenten) uitpakt in een denkbeeldige wedstrijd waarin de deelnemers per spel een resultaat halen dat op vaste manier afhangt van hun sterkte. Het blijkt uit dit soort tests dat een "perfect" schema met Qf = 100 vaak toch niet zo perfect is.

Topintegraal.

De balans bij topintegraalwedstrijden is een verhaal apart.

Cross-IMPs scoring.

De hier gebruikte ideen zijn ook van toepassing bij cross-IMPs scoring.
(Butler scoring gebruiken we uiteraard niet voor een serieuze wedstrijd.)

Zaaien.

Een heel andere techniek om te bevorderen dat alle deelnemers aan een bridge-evenement gelijke kansen hebben is het zaaien. Bij het verbeteren van de balans proberen we te bewerkstelligen dat alle paren elkaar effectief even vaak ontmoeten. Bij het zaaien daarentegen is het streven dat alle paren gelijkwaardige tegenstand ondervinden, maar niet noodzakelijk van dezelfde paren.
Home

Implementatie

Het programma "balans" zoekt de optimale balans, uitgaande van een gegeven speelschema, door omwisselingen van de windrichtingen NZ en OW.

De eerste versies van "balans" gebruikten de volgende strategie. In eerste instantie worden alle tafels ´én voor ´én gedraaid. De verwisseling die de grootste verbetering van de balans oplevert wordt behouden. Dit proces wordt herhaald met deze verbeterde configuratie tot er geen verbetering meer optreedt.
We doen ditzelfde met andere uitgangsposities waarbij een random number generator bepaalt welke tafels in de uitgangsposities gedraaid worden. Bij iedere verbetering wordt uiteraard het tot nu toe beste schema behouden.

Inmiddels is Gerrit van der Velde zo vriendelijk geweest mij zijn programma ter beschikking te stellen (zie Historische ontwikkeling). De strategie die hierin gevolgd wordt is ontleend aan een methode die in de vaste stoffysica gebruikt worden om o.a. het kristallisatieproces te modelleren. Hier worden in random volgorde de tafels gedraaid. Niet alleen gunstige verwisselingen worden geaccepteerd maar soms ook verwisselingen die de balans verslechteren. Wanneer en hoeveel hangt af van een parameter "temperatuur". Door de temperatuur afwisselend te verhogen en te verlagen hoop je uit nevenminima te ontsnappen en uiteindelijk het absolute minimum te bereiken. Ook hier wordt weer het overall beste schema behouden.

Het bleek dat deze strategie vooral bij grote aantallen tafels veel effectiever was. Daarom heb ik die overgenomen en een aangepaste versie van de belangrijkste subroutine van dit programma maakt sinds versie 4 onderdeel uit van "balans". Een aantal grote schema's uit de tabellen "Monsters" en "Draaiende Mitchells" kon hierdoor verbeterd worden.

Versie 7 van balans is een belangrijke revisie, en gezamenlijk ontwikkeld door Ulrik Dickow en mij. In deze versie wordt de vacancy quality geintroduceerd, en is tevens de boven beschreven strategie sterk verbeterd door Ulrik, waardoor het programma veel sneller is geworden.

Is er een garantie dat het absolute optimum gevonden wordt? Nee, geen van beide methodes kan deze garantie geven. Van de vele mogelijkheden om n van de N tafels te draaien worden er maar een beperkt aantal onderzocht. Zeker voor de grotere schema's blijft de mogelijkheid op verdere verbeteringen bestaan.

commandoregel.

Het programma wordt gestart in een consolevenster met de commandoregel:
   balans [opties] <schemafile>
Enkele opties zijn (voor een volledige lijst zie de file README.html):
 -c   : check het schema, geen optimalisatie
 -s n : doe optimalisatie voor n iteraties
 -r n : hou rij n vast (= ronde n)
 -t n : hou kolom n vast (= tafel n)
 -f n : hou de eerste n posities vast.
 -h   : geef een korte beschrijving van de opties
Aantal iteraties is het aantal pogingen tot verbetering dat wordt uitgevoerd. Een paar duizend is meestal voldoende.

Het is vaak wenselijk om de eerste ronde vast te houden. Dit kan zonder verlies van algemeenheid, tenzij het aantal tafels groter is dan het aantal spelgroepen. Dan kun je nog wel zonder bezwaar zoveel tafels in de eerste ronde vasthouden als er spelgroepen zijn. Optie -f is speciaal voor dit geval.

Toepassing van het vasthouden van een kolom: bij een schema van 14 paren, 6 ronden, zit paar 14 (of 13) permanent aan tafel 7. Het is voor dit paar prettig als ze constant NZ of OW zitten. Je kunt dus proberen of dit mogelijk is met behoud van de optimale balans.

De normale uitvoer van het programma bevat tevens de kwaliteitsfactoren voor het geval van een afwezig paar, voor alle mogelijke keuzes welk paar afwezig is.

De lay-out van de schemafiles.

is als volgt: Voorbeeld (8 paren, 6 ronden):
8 6 6 6 0
 1- 2 A  3- 4 B  5- 6 C  7- 8 D  0- 0 0  0- 0 0 
 3- 6 A  1- 7 B  0- 0 0  0- 0 0  5- 8 E  4- 2 F 
 7- 5 A  8- 6 B  1- 4 C  2- 3 D  0- 0 0  0- 0 0 
 4- 8 A  0- 0 0  0- 0 0  1- 6 D  2- 7 E  5- 3 F 
 0- 0 0  5- 2 B  3- 7 C  0- 0 0  6- 4 E  1- 8 F 
 0- 0 0  0- 0 0  8- 2 C  5- 4 D  1- 3 E  7- 6 F 
In dit voorbeeld is het aantal tafels groter dan de helft van het aantal paren. De niet in gebruik zijnde tafels worden in het schema aangeduid met nullen. De paren hebben opeenvolgende nummers te beginnen met 1. De symbolen om spelgroepen aan te geven mogen cijfers of letters zijn. Voor verdere mogelijkheden klik hier

Voor een voorbeeld van de uitvoer, klik hier.

Het programma is geschreven in C, ontwikkeld in de MinGW omgeving, en gecompileerd met gcc.

Speciale dank is verschuldigd aan Gerrit van der Velde voor het beschikbaar stellen van zijn code, en aan Joop van Wijk voor kritisch commentaar en waardevolle suggesties in alle stadia van dit werk.

Home

Resultaten.

Er werden schema's bewerkt voor 8, 10, 12 en 14 paren, steeds 6 ronden, van de volgende bronnen. De resultaten staan in onderstaande tabel

Kwaliteitsfactor Qf voor schema's van 6 ronden

orig.: Qf van oorspronkelijke schema
opt. : Qf na optimalisatie door verwisselingen NZ <-> OW

               orig.  opt.   Opmerkingen

schiereck8:    80.00         Short Howell 8
schiereck10:   83.76         Aarzelend Scheveningen 10
schiereck12:   67.74         Short Howell 12
schiereck12S:  46.67  84.00  Scheveningen 12
schiereck14:   39.54  70.41  Onv. Mitchell 7+7

nbb8:          60.00  80.00  NBB Multiplex 1993
nbb10:         42.42  77.47
nbb12:         34.81  79.75
nbb14:         35.59  60.41

Een paar opmerkingen.

Door van de Mitchells van Schiereck een draaiend schema te maken wordt de kwaliteit drastisch verhoogd. Dit is niet ongewoon, zie verderop.

Met de balans bij de NBB Multiplex schema's is het droef gesteld. Deze conclusie was voor Joop van Wijk en mij aanleiding tot het project Teamschema's, zie volgende paragraaf.

TEAM schema's

Samen met Joop van Wijk heb ik geprobeerd een beter stel schema's samen te stellen voor 6, 7 en 8 ronden en 8 tot 16 paren, later uitgebreid tot 24 paren, zoals in Nederlandse clubs veel gebruikt worden. Het resultaat wordt hieronder besproken. Misschien kan het hier en daar nog beter, maar dit is het optimale wat ons speur- en rekenwerk heeft opgeleverd.

Het schema voor 12 paren en 6 ronden is een geval apart. Het beste ons bekende schema hiervoor is de Scheveningen-12 uit het Groot Schema Boek, en daarvan de geoptimaliseerde versie, Qf=84. In dit schema worden in de laatste 2 ronden tussen twee tafels de spellen gedeeld. De kans is klein dat dit vergissingen oplevert omdat een van de paren blijft zitten. Toch is gekozen voor een schema zonder leentafels, met een wat slechtere balans, Qf=79.75.

We noemen deze set "Team" schema's, en na enkele wijzigingen en toevoegingen in 2011 TeamPlus schema's.
Er zijn twee soorten schema's genaamd Howell (eigenlijk Short Howell) en Draaiend Scheveningen. In beide gevallen is de indeling in de eerste ronde gelijk aan de universele startpositie. De scores van de eerste ronde kunnen dus ongewijzigd gehandhaafd blijven ook als het nodig is op een ander schema over te gaan wegens wegblijvers.

Bij de Howell's is paar 1 altijd vast, NZ op tafel 1. Hier kun je dus mooi iemand neerzetten die slecht ter been is, of die speciale voorzieningen nodig heeft. Verder veranderen de spelers en de spellen bij iedere nieuwe ronde van tafel. Het aantal tafels is zo klein mogelijk, dus bijvoorbeeld bij 10 paren heb je maar 5 tafels nodig, geen 6 of 7.

Bij de Draaiend Scheveningen zijn alle spellen zo veel mogelijk tafelvast. Bij een schema voor 7 ronden en 10 paren neem je dus 7 tafels in gebruik, geen 5.
Aan de leentafels is er altijd een vast paar.

Wat betreft de indeling zijn beide soorten schema's gelijk. Dezelfde paren ontmoeten elkaar en spelen dezelfde spellen. Alleen de tafelschikking verschilt.

Bij de schema's is aandacht besteed aan de eis dat ook bij het ontbreken van een paar nog een goede balans overblijft.

De schema's voor 8 ronden zijn een latere toevoeging. Op veel clubs speelt men een schema van 6 ronden van 4 spellen per avond. Er is veel voor te zeggen dit te vervangen door 8 ronden van 3 spellen. De zitting duurt daardoor een minuut of 5 langer, maar daar staat tegenover dat men meer paren tegenkomt, en dat de balans een stuk beter is. En bovendien, als er eens een rusttafel is, is het stilzitten van kortere duur.

In de volgende tabel is Qf de kwaliteitsfactor bij een even aantal paren,
Qf1 de kwaliteitsfactor als het hoogste paarnummer ontbreekt.

T E A M   S C H E M A ' S

paren  ronden      Qf     Qf1    Howell  Sch

 6       6         83.33   80      y
 8       6         80      71.74   y      y      Zie 8p6rGSBopt.asc voor een betere keuze
10       6         83.76   75.79   y      y
12       6         79.75   71.81   y      y
14       6         70.41   70.36   -      y
16       6         76.92   71.92   -      y

 8       7        100     100      y      y
10       7         84.94   82.93   y      y
12       7         76.87   75.82   y      y
14       7         92      85.09   y      y
16       7         78.74   72.17   -      y
18       7         63.95   62.38   -      y

 8       8         87.50   86.36   y      -
10       8         89.51   82.50   y      y
12       8         85.38   78.33   y      y
14       8         82.46   78.15   y      y
16       8         94.64   88.64   y      y

Grote groepen

Voor groepen groter dan 16 paren (6 ronden) 18 paren (7 ronden) is een redelijke balans in één zitting niet bereikbaar. Het "teamplus_pakket" (zie de downloadpagina) bevat ook een aantal schema's voor groepen tot en met 24 paren die nog het minst slecht zijn. In een competitie van 5 of 6 zittingen knapt de balans natuurlijk wel een stuk op.

De volgende tabel geeft de kwaliteitsfactor Qf van enkele van deze extra schema's.
Qf1 is de kwaliteitsfactor als het hoogste paarnummer ontbreekt.

G R O T E   G R O E P E N   S C H E M A ' S

paren  ronden       Qf     Qf1

18       6         55.80   58.46
20       6         47.22   47.49
22       6         42.82   42.88
24       6         48.48   47.75

20       7         61.38   59.67
22       7         52.09   49.95
24       7         47.05   45.06

Schema's voor 4-6 paren

Ter completering van het geheel ook enkele schema's voor 4 en 6 paren, o.a een Howell voor 4 paren en 6 ronden waarbij men elk paar 2 keer tegenkomt, met Qf=100, een schema voor 6 paren en 6 ronden met Qf=83,33, en een Howell voor 6 paren en 5 ronden, waar een perfecte balans bereikt wordt door het werken met 10 spelgroepen.

Competities met meerdere zittingen

Tot nu toe hebben we allen gekeken naar de balans van één enkele zitting. Dat is voldoende voor een zomerdrive of een andere incidentele drive. Bij een clubcompetitie of een toernooi van meerdere zittingen moeten we verder kijken en de balans van het geheel beschouwen. De ideale oplossing heeft, net zoals bij de losse drive, de volgende eigenschappen.

voor iedere mogelijke keus van 2 paren:.

Bij vaste opkomst is dit ideaal geheel of bij benadering te verwezenlijken door een gebalanceerd schema te gebruiken dat meerdere zittingen beslaat. Voorbeelden hiervan vindt men verderop in de tabellen Monsterschema's en Schema's met een perfecte balans.

Een andere oplossing is het gebruik van cyclisch vernummerbare schema's. Hierbij wordt iedere avond hetzelfde speciale schema gebruikt, met een simpel vernummeringsvoorschrift. Zie het Groot Schemaboek 2002. Met cyclische schema's bereiken we wel een zo eerlijk mogelijke verdeling van de onderlinge ontmoetingen, maar meestal schiet de balans er bij in. Bijvoorbeeld, na 5 zittingen met het cyclische schema voor 16 paren en 6 ronden (GSB 2002) hebben alle paren elkaar precies 2 keer ontmoet, maar de balans is verre van perfect, Qf=80.33.

De cyclische schema's kunnen allen een bijna perfecte balans bereiken door 5 of 6 zittingen gezamelijk te optimaliseren. Wie er niet tegen op ziet om 5 verschillende schema's te hanteren kan hier de balans dus behoorlijk opvoeren. Enkele voorbeelden bij de monsterschema's hieronder.

Nog beter is het om een van de Howells in meerdere zittingen te gebruiken. Een speciaal geval is de Howell-16 in 3 zittingen die niet alleen een perfecte balans heeft, maar waarbij tevens alle 3 de zittingen hetzelfde schema hebben. Dit schema valt dus ook onder de cyclische schema's.

Bij onregelmatige, onvoorspelbare opkomst, zoals bij clubcompetities heel vaak het geval is, moeten we misschien wat water bij de wijn doen, maar natuurlijk nog wel een optimale benadering van het ideaal proberen te bereiken. Twee dingen zijn daarbij van belang:

De vernummering gebeurt soms op basis van de competitiestand of de uitslag van de vorige zitting. Dat een dergelijke benadering noodzakelijkerwijs bepaalde paren met elkaar koppelt en onmogelijk een eerlijk schema kan opleveren behoeft geen betoog. Een heel stuk beter is het al om de paarnummers willeurig uit te delen. Maar er zijn nu ook computerprogramma's om een optimale indeling te zoeken. Een daarvan is WIP, dat tegenwoordig direct gekoppeld is aan het NBB-Rekenprogramma. Een ander programma is picolo (zie onder), dat niet alleen naar de verdeling van ontmoetingen kijkt, zoals WIP, maar ook nog naar de balans.

Wat betreft de keuze van de set bassisschema's is het niet bij voorbaat evident dat schema's met een goede belans bij een enkele zitting ook de beste balans opleveren in een competitie van 5 of 6 zittingen.

Wij hebben daarom simulaties gedaan voor enkele "realistische" scenarios van onregelmatige opkomst, waarbij als methode voor vernummering ofwel een random indeling gebruikt werd, ofwel het programma WIP, ofwel het programma picolo, en waarbij de volgende sets schema's werden vergeleken:

Enkele voorzichtige algemene conclusies daaruit: Een voorbeeld. Een competitie van 6 zittingen van 6 ronden, waarbij het aantal aanwezige paren varieert tussen 10 en 14. Het gemiddelde aantal keren dat 2 paren elkaar tegengekomen is 2,31. De werkelijke aantallen liggen tussen de 0 en 6, en zijn als volgt verdeeld.
schema's:   team   team   team   cyclisch    nbb
indeling:  random   WIP  picolo    picolo   picolo
0 ontm:      5,2    2,2     0        0        0
1 ontm:     19,5    5,5    12,0      7,9      8,7
2 ontm:     33,1   59,3    46,8     54,3     52,2
3 ontm:     27,0   27,5    39,8     37,1     38,6
4 ontm:     12,3    5,5     1,4      0,8      0,5
5 ontm:      2,7    0       0        0        0
6 ontm:      0,3    0       0        0        0
Kwaliteit:  88,1           90,4     87,7     82,8
De getallen zijn gemiddelde percentages. Dat betekent dus bijvoorbeeld dat voor een combinatie van 2 paren de kans dat zij elkaar nog niet ontmoet hebben gemiddeld 5,2% is bij random indeling en gebruik van de teamschema's. WIP slaagt er in dit geval niet in deze nullen volledig uit te schakelen, picolo wel.
Op de laatste regel staat de kwaliteitsfactor Qc, zoals berekend door picolo

picolo

Picolo is een door mij ontwikkeld geheel nieuw programma voor de optimalisatie van indelingen bij parencompetities die uit meerdere zittingen bestaan.
Het programma is sinds 2006 op enkele plaatsen in gebruik waaronder de clubs waar ik als wedstrijdleider fungeer. Het programma besteedt niet alleen aandacht aan het zo eerlijk mogelijk verdelen van de ontmoetingen tussen de deelnemers, maar ook aan de kwaliteit van de balans. Ook in een aantal andere opzichten is het superieur aan WIP. Het vindt niet alleen meestal een betere indeling, maar dat ook nog sneller. Sinds augustus 2007 is het ook voorzien van een grafische interface.

Voor meer informatie over picolo, zie http://www.pjms.nl/PICOLO

Monsterschema's

Een monsterschema is volgens Schiereck een schema over vele zittingen, waarbij uiteindelijk iedereen even vaak tegen elkaar gespeeld heeft. We breiden deze definitie en beetje uit door ook valse monsters mee te nemen, dat zijn schema's waarin niet aan deze laatste eis voldaan is, maar het aantal ontmoetingen bijvoorbeeld varieert tussen 2 en 3. Daarnaast zijn er nog gedrochten, dat zijn monsters waarin niet alle zittingen evenveel ronden hebben. Het programma balans is prima geschikt om de balans van dergelijke monsters te optimaliseren. Sommige worden ook elders op deze pagina vermeld. We vatten ze hier nog eens samen en voegen er ook een paar extra toe.

Hierbij is een waarschuwing wel op zijn plaats: gebruik dit soort schema's alleen voor toernooien en competities met vaste opkomst. Door het optimaliseren over meerdere zittingen gaat de balans per zitting namelijk fors achteruit zodat u bij wisselende opkomst van de regen in de drup belandt.

De onderstaande schema's zijn beschikbaar op de downloadpagina.

paren  ronden  zittingen  ronden per zitting  ontmoetingen   Qf      Qo     type

  10     18        2            9               2           100     100      monster
  10     18        3            6               2           100     100      monster
  12     11        2         5 en 6             1           100     100      gedrocht
  12     11        3         3 en 4             1           100     100      gedrocht
  12     24        4            6             2  3          99.24   96.97   vals monster (nov. 2008)
  12     30        5            6             2  3          99.55   97.40   vals monster (nov. 2008)
  14     26        2           13               2           100     100      monster
  14     26        4         6 en 7             2            99.03  100      gedrocht     (nov. 2008)
  14     24        4            6             1  2          98.74   96.32   vals monster (nov. 2008)
  14     30        5            6             2  3          99.26   96.15   vals monster (nov. 2008)
  14     36        6            6             2  3          99.52   97.74   vals monster (nov. 2008)
  14     39        6         6 en 7             3            99.38  100      gedrocht
  16     15        2         7 en 8             1           100     100      gedrocht
  16     15        3            5               1           100     100      monster (Sep. 2007)
  16     30        5            6               2            99.12  100      monster (Sep. 2007)
  18     17        3         6, 6, 5            1            94.74  100      gedrocht
  20     19        3         6, 6, 7            1            96.10  100      gedrocht
  22     21        3            7               1            95.98  100      monster
  24     23        3         8, 8, 7            1            96.58  100      gedrocht
Voor 8 paren en 6 ronden per zitting bieden onderstaande vernummeringtabellen goede mogelijkheden. Daarbij zelfs een alternatief met perfecte balans.
Dank zij het ideale Howellschema is voor 8 paren en 7 ronden een monsterschema overbodig.

Vernummeringstabellen voor teamschema's

Voor een clubcompetitie met vaste opkomst is de aangewezen weg het gebruik van Howells in meerdere zittingen, of van monsterschema's, zoals boven besproken. Als er daarentegen geen opkomstverplichting is, worden er diverse schema's gebruikt binnen een competitie. Dan heeft het gebruik van vernummeringstabellen geen zin, en is een indelingsprogramma zoals picolo een oplossing.

Maar er zijn nu eenmaal clubs, die wel een vaste opkomst hebben, maar die ook per se willen vasthouden aan een stramien van een vast aantal ronden per zitting en een bepaald aantal zittingen per competitie. Voor zulke clubs heb ik een aantal vernummeringstabellen opgesteld uitgaande van de teamschema's. In feite zijn dit dus ook monsterschema's, met als extra eigenschap dat in iedere zitting hetzelfde schema gebruikt wordt.

Dit is ook een goede test voor de geschiktheid van de teamschema's voor dit doel. Bij het uitzoeken van die schema's is immers voornamelijk gelet op een goede balans voor een enkele zitting, en is geen aandacht besteed aan de geschiktheid voor een competitie in meerdere zittingen. Het blijkt uit de resultaten dat de meeste teamschema's prima geschikt zijn voor competities in 5 of 6 zittingen, en bij optimale vernummering zowel een goede verdeling van de ontmoetingen als een goede balans opleveren. Slechts twee schema's bleven in het eerste opzicht beneden de maat, met name het teamschema voor 14 paren en 7 ronden, en het schema voor 16 paren en 8 ronden. Voor deze twee zijn ook vernummeringstabellen opgesteld voor alternatieve schema's, te weten een speciaal voor dit doel gemaakt schema, en de cylische schema's uit het GSB.

Foutjes in het Groot Schemaboek

Bij het testen van dit programma werd uiteraard gekeken naar de schema's in het Groot Schemaboek. In een aantal gevallen werd overeenstemming gevonden maar ook een paar discrepanties kwamen aan het licht.

Het volgende slaat op het Groot Schemaboek 2002. Inmiddels zijn er nieuwe versies beschikbaar, waarin deze en andere fouten zijn gecorrigeerd.

Op pagina 5 onderaan staat een Onv. Mitchell 9+9, die niet klopt. Paar 7 speelt 2x spelgroep F en nooit C, en paar 9 speelt 2x spelgroep C en nooit F. Remedie: in ronde 3 9-14 F en in de laatste ronde 7-14 C.

Op pagina 6, Schema's van 7 ronden, wordt een Short Howell-10 gepresenteerd met Qf=84.94. Ik vind echter voor dit schema Qf=77.74. Na optimalisatie wordt de waarde 84.94 wel bereikt, maar dan met 2 omwisselingen, te weten 9-1 D en 1-10 B.

Een soortgelijk verhaal voor de Aarzelende Scheveningen-12 die er vlak onder staat. Het gepubliceerde schema heeft een Qf=70.48, maar na een verwisseling in het allerlaatste item (moet zijn 7-4 G) wordt de geclaimde Qf=76.87 wel bereikt.

Op pagina 13, par. 1.9 staan startposities voor schema's van 11 ronden. Als je hier op de eerste rij 10-8I gebruikt in plaats van 8-10I genereert dit een volledige Howell voor 12 paren en 11 ronden met perfecte balans. De Howell-14 in 2 zittingen op pagina 17 bevat 2 keer de parencombinatie 10-12. Op de onderste regel moet dat zijn 10-4

Nieuwe resultaten die niet in het GSB te vinden zijn, zijn o.a de sterk verbeterde balans bij Howell's in meerdere zittingen. Zo valt de Howell-12 in 2 zittingen op pagina 16 te optimaliseren tot een schema met Qf=100. Zie verder de paragraaf Perfecte Schema's. Deze geoptimaliseerde schema's verdienen mijns inziens een plaats bij de mogelijkheden voor districtsparencompetities op pag 39.

En ten slotte, in de scorematrix met label "Totaal:" op pagina 72 komt twee keer '-1' voor. Beide moeten '+1' zijn. Maar dat had u zelf al gezien als u die pagina bestudeerd had.

Home

Downloads

Via de download pagina kunt u de boven besproken schema's downloaden. Ook vind u daar een hulpprogramma voor invoer van schema's in het programma BridgeIt en het NBB-Rekenprogramma.

Verantwoording

Deze schema's zijn bij elkaar gesprokkeld en geoptimaliseerd door Joop van Wijk en Peter Smulders. Het is ondoenlijk alle oorspronkelijke bronnen te vermelden, o.a. de heren Howell en Mitchell, het Groot Schema Boek van F. Schiereck, Movements - a fair approach van Hallén, Hanner en Jannersten, het Internet ...
Frans Lejeune en Dick Boogaers worden bedankt voor kritische commentaren, Bas Overwater voor het beschikbaar stellen van programmatuur voor het verwerken van schema's en loopbriefjes.

Arrow Switching in Mitchell schema's

In een Mitchell schema kan het veld verdeeld worden in de groepen NZ en OW, ieder met een eigen winnaar. Behalve de Standaard Mitchell beschouwen we ook andere schema's met deze eigenschap. Door in zulk een schema draaironden ("arrow switching") toe te passen kan men schema's bereiken die een goede balans hebben voor een uitslag met één winnaar. We beperken ons tot "volledige" schema's waarbij het aantal ronden gelijk aan het aantal tafels. Alle NZ paren komen alle OW tegen en alle paren spelen alle spellen.

Mitchells en variaties

Bij de Standaard Mitchell volgt iedere ronde uit de vorige als volgt:
- De NZ paren blijven waar ze zijn.
- De OW paren gaan één tafel omhoog
- De spellen gaan één tafel omlaag
Hierbij moeten omhoog en omlaag cyclisch opgevat worden. Omhoog vanaf de laatste tafel betekent naar de eerste tafel en vice versa.

Een eenvoudige variatie op dit thema is:
- De NZ paren gaan één tafel omhoog.
- De OW paren gaan één tafel omlaag
- De spellen blijven liggen.

Dit idee werkt prima voor een oneven aantal tafels. Maar bij een even aantal treden er doublures op na de eerste helft van de zitting. Een oplossing voor dit probleem is de Relay Mitchell. Deze heeft echter het nadeel dat twee tafels in alle ronden de spellen moeten delen.

Een betere oplossing is de Double Weave Mitchell. Het schema zit ingewikkelder in elkaar, maar het delen van spellen wordt vermeden. Helaas werkt deze methode alleen als het aantal tafels een veelvoud van 4 is, dus 4, 8, 12 ...

Een andere optie voor een even aantal tafels, de Skip Mitchell, laten we buiten beschouwing, omdat daar de NZ paren niet alle OW paren ontmoeten.

Voor een beschrijvng van bovengenoemde schema's zie "Movements - a fair approach" door Hallén, Hanner en Jannersten.

We kijken onder ook naar een aantal "Scheveningen" schema's uit het "Groot Schemaboek 2002" door F.C. Schiereck. Ook bij deze schema's ontmoeten de NZ paren alleen OW paren. De spellen blijven liggen, de NZ paren hebben oneven nummers en de OW paren even nummers. Voor oneven aantal tafels zijn deze schema's equivalent met de Standaard Mitchell. Voor een even aantal zijn er wel belangrijke verschillen. In de meeste gevallen zijn er geen tafels die spellen samen delen

Voorbeelden

Beschouw eens het volgende Mitchell schema voor 14 paren en 7 ronden.
 1- 8 A    2- 9 B    3-10 C    4-11 D    5-12 E    6-13 F    7-14 G
 1-14 B    2- 8 C    3- 9 D    4-10 E    5-11 F    6-12 G    7-13 A
 1-13 C    2-14 D    3- 8 E    4- 9 F    5-10 G    6-11 A    7-12 B
 1-12 D    2-13 E    3-14 F    4- 8 G    5- 9 A    6-10 B    7-11 C
 1-11 E    2-12 F    3-13 G    4-14 A    5- 8 B    6- 9 C    7-10 D
 1-10 F    2-11 G    3-12 A    4-13 B    5-14 C    6- 8 D    7- 9 E
 1- 9 G    2-10 A    3-11 B    4-12 C    5-13 D    6-14 E    7- 8 F
Een genot voor het oog en ook perfect in balans, als je voor NZ en OW apart een uitslag berekent. Dit blijkt meteen uit de scorematrix:
   *   7   7   7   7   7   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   *   7   7   7   7   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   7   *   7   7   7   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   7   7   *   7   7   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   7   7   7   *   7   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   7   7   7   7   *   7   0   0   0   0   0   0   0
   7   7   7   7   7   7   *   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   *   7   7   7   7   7   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   *   7   7   7   7   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   7   *   7   7   7   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   7   7   *   7   7   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   7   7   7   *   7   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   7   7   7   7   *   7
   0   0   0   0   0   0   0   7   7   7   7   7   7   *
Als je maar één winnaar wil voldoet dit natuurlijk niet. Dit probleem kan worden opgelost door in één ronde alle tafels te draaien. Het doet er daarbij niet toe welke ronde. Bijvoorbeeld:
 1- 8 A    2- 9 B    3-10 C    4-11 D    5-12 E    6-13 F    7-14 G
14- 1 B    8- 2 C    9- 3 D   10- 4 E   11- 5 F   12- 6 G   13- 7 A
 1-13 C    2-14 D    3- 8 E    4- 9 F    5-10 G    6-11 A    7-12 B
 1-12 D    2-13 E    3-14 F    4- 8 G    5- 9 A    6-10 B    7-11 C
 1-11 E    2-12 F    3-13 G    4-14 A    5- 8 B    6- 9 C    7-10 D
 1-10 F    2-11 G    3-12 A    4-13 B    5-14 C    6- 8 D    7- 9 E
 1- 9 G    2-10 A    3-11 B    4-12 C    5-13 D    6-14 E    7- 8 F
(Klik hier voor een meer gedetailleerde beschouwing.)

Door deze eenvoudige ingreep schiet Qf omhoog van 46.94 naar maar liefst 92. De nieuwe scorematrix wordt:

   \   3   3   3   3   3   3   4   4   4   4   4   4   0
   3   \   3   3   3   3   3   0   4   4   4   4   4   4
   3   3   \   3   3   3   3   4   0   4   4   4   4   4
   3   3   3   \   3   3   3   4   4   0   4   4   4   4
   3   3   3   3   \   3   3   4   4   4   0   4   4   4
   3   3   3   3   3   \   3   4   4   4   4   0   4   4
   3   3   3   3   3   3   \   4   4   4   4   4   0   4
   4   0   4   4   4   4   4   \   3   3   3   3   3   3
   4   4   0   4   4   4   4   3   \   3   3   3   3   3
   4   4   4   0   4   4   4   3   3   \   3   3   3   3
   4   4   4   4   0   4   4   3   3   3   \   3   3   3
   4   4   4   4   4   0   4   3   3   3   3   \   3   3
   4   4   4   4   4   4   0   3   3   3   3   3   \   3
   0   4   4   4   4   4   4   3   3   3   3   3   3   \

Maak niet de fout om twee ronden gedraaid te spelen. De balans stort dan weer in en Qf zakt tot 49.64.

Het effect van een en ander in denkbeeldige wedstrijden met een en twee sterke paren in een veld van zwakkere gelijke paren wordt verderop behandeld.

Voor 6 tafels en 6 ronden is zo'n regelmatig schema niet te maken, maar moet er geknutseld worden om te voorkomen dat paren twee keer dezelfde tegenstanders of dezelfde spellen tegenkomen. Een mogelijk schema is de Relay Mitchell voor 6 tafels:

 1- 7 A    2- 8 B    3- 9 C    4-10 E    5-11 F    6-12 A
 1-12 B    2- 7 C    3- 8 D    4- 9 F    5-10 A    6-11 B  
 1-11 C    2-12 D    3- 7 E    4- 8 A    5- 9 B    6-10 C  
 1-10 D    2-11 E    3-12 F    4- 7 B    5- 8 C    6- 9 D  
 1- 9 E    2-10 F    3-11 A    4-12 C    5- 7 D    6- 8 E  
 1- 8 F    2- 9 A    3-10 B    4-11 D    5-12 E    6- 7 F  
waarbij tafels 1 en 6 steeds dezelfde spellen spelen. Een andere mogelijkheid, waarbij er alleen in de laatste 2 ronden spellen gedeeld worden is de Scheveningen-12 op pag 5. van het Groot Schemaboek.
 1- 2 A    3- 4 B    5- 6 C    7- 8 D    9-10 E   11-12 F
11- 6 A    7-12 B    1-10 C    9- 4 D    5- 8 E    3- 2 F
 3- 8 A    9- 6 B    7- 4 C   11- 2 D    1-12 E    5-10 F 
 5- 4 A   11-10 B    3-12 C    1- 6 D    7- 2 E    9- 8 F  
 5-12 D    1- 8 B    9- 2 C    3-10 D   11- 4 E    7- 6 F  
 9-12 A    5- 2 B   11- 8 C    7-10 A    3- 6 E    1- 4 F  
Ook van deze schema's kun je door één draaironde een schema met een goede balans maken. Draai je in de Relay Mitchell alle tafels met uitzondering van ofwel tafel 1 ofwel tafel 6, in één van de ronden, dan stijgt Qf van 46.67 naar 84. Bij de Scheveningen wordt hetzelfde effect bereikt door draaien van de windrichtingen in ronde 1, 2, 3, of 4. Draaien in een van de twee laatste ronden is minder goed maar levert nog steeds Qf= 79.75. Ook hier is het weer funest om in 2 ronden te draaien, Qf wordt dan omtrent 40.

We zien dus dat een enkele draaironde optimaal is voor volledige Mitchells van 12 en 14 paren. Toch is dit geen algemene regel. Bij een Mitchell voor 22 paren en 11 ronden bijvoorbeeld is één arrowswitch-ronde (Qf=89.2) nog wel beter dan twee (Qf=85.04), maar nog verder optimaliseren levert Qf=93.41.

In onderstaande tabel geven we een overzicht van de kwaliteitsfactor Qf van genoemde schema's, en het effect op de kwaliteit van draaironden

Kwaliteitsfactor voor volledige Mitchells en draaiende Mitchells.

                                             bijgewerkt april 2017
Aant ronden  Type  aantal draaironden                      beste waarde
= tafels             0       1       2            3

      5      M     46.00   67.65   31.08 (2 5)                 74.68 *)

      6      RM    46.67   79.75   42.86 (2 3)                 84.00 **)
      6      GSB   46.67   84.00   40.65 (2 6)                 84.00

      7      M     46.94   92.00   49.64 (2 7)                 92.00

      8      RM    47.32   91.38   60.92 (2 7)                 91.38
      8      DWM   47.32   94.64   57.61 (2 5)                 94.64 ***)
      8      GSB   47.32   94.64   55.21 (2 8)                 94.64

      9      M     47.53   93.90   70.00 (2 7)                 93.90

     10      RM    47.78   90.03   78.93 (2 10)                93.80
     10      GSB   47.78   91.88   77.12 (2 10)                93.80

     11      M     47.93   89.23   85.04 (2 8)                 93.41

     12      RM    48.11   85.55   89.58 (2 12) 67.08 (2 3 12) 94.00
     12      DWM   48.11   86.59   89.86 (2 4)  65.24 (2 4 8)  94.00
     12      GSB   48.11   86.59   89.86 (2 12) 65.24 (2 3 12) 94.00

     13      M     48.22   84.02   92.97 (2 8)  72.99 (2 7 8)  93.96

     14      RM    48.35   81.08   94.27 (2 5)  79.06 (2 5 6)  94.77
     14      GSB   48.35   81.70   94.44 (2 8)  77.36 (2 8 11) 94.77

     15      M     48.44   79.56   95.49 (2 9)  83.03 (2 8 9)  95.49

Voetnoten

M =   Standard Mitchell
RM =  Relay Mitchell
DWM = Double Weave Mitchell
GSB = "Scheveningen" uit "Groot Schemaboek 2002" door F.C. Schiereck
De getallen tussen haakjes zijn de ronden die gedraaid zijn in de berekening.

*) Het optimum voor de Mitchell voor 5 tafels (10 paren) kan bereikt worden door in een
ronde 3 of 4 tafels te draaien.
**) Het optimum voor de Mitchell voor 6 tafels (12 paren) kan bereikt worden door in een
ronde alle tafels, behalve een van de "leen"tafels 1 of 6, te draaien.
***) Bij de DWM levert iedere volledige ronde draaien de optimale Qf, maar alleen ronde 1,4,5,8 geven
daarbij ook de optimale vacancy quality.

Beschouwing

Pas bij 12 ronden zijn 2 draaironden beter dan 1, en bij 15 ronden is 2 volledige draaironden optimaal.

Bij nader inzien bleek het feit dat 1 draaironde meestal nodig en voldoende is geen nieuws.

Het voorbeeld voor de 7-tafel Mitchell waarmee deze paragraaf opende is ontleend aan John Manning, die hierover zegt: "The standard deviation works out at 1.05 and cannot be further reduced by switching more or fewer boards".

Al in 1979 besteedde John Manning aandacht aan het probleem van het optimale aantal draaironden, en gaf aan "A rough and ready rule is to switch about one eighth of the boards in a Mitchelltype movement."

John Probst heeft dit probleem wiskundig en algemeen onderzocht en komt tot dezelfde conclusie:

We must arrow switch slightly more than 1/8 of the rounds for fairness. Anything else is WRONG!!!

zie:
J.Manning: The Mathematics of Duplicate Bridge Tournaments
(Bulletin of Institute of Mathematics and its Applications Vol. 15, No. 8/9, August/September 1979, pp201 - 206)
J.Probst: http://www.blakjak.org/why_1in8.htm
zie ook: http://www.blakjak.org/lws_men1.htm
Ross Moore: "Too many arrow-switches spoil the balance" (1992) komt tot dezelfde conclusie.

Arrow Switching bij de NBB

Dat één arrowswitch-ronde beter is dan twee was blijkbaar niet bekend bij de samenstellers van de multiplex gidskaarten 1993. In het schema voor 14 paren, 7 ronden, zijn 2 ronden gedraaid. Dat heeft zoals gezegd Qf=49.6. Weer terugdraaien in ronde 2 of 3 maakt hier dus 92 van. Ook de samenstellers van het schemabestand geleverd bij het NBB-rekenprogramma doen het niet best. De schema's Draaiend Mitchell 12 en Draaiend Mitchell 14 hebben Qf's van respectievelijk 36.8 en 49.6. Het eerste is zelfs een verslechtering t.o.v. een niet-draaiende Mitchell.

Arrow Switching in "Movements - fair approach"

In het bekende boek van Hallén, Hanner en Jannersten "Movements - a fair approach" wordt een goede balans gedefinieerd als een waarbij iedere combinatie van paren wordt vergeleken op het halve aantal spellen. Dat wil zeggen dat voor iedere combinatie van twee paren in het ideale geval geldt dat ze even vaak in dezelfde windrichting spelen als in tegengestelde richtingen (pag.90-91). Volgens mij maken de auteurs hier een denkfout, die leidt tot een veel te groot aantal draaironden. Ze gaan voorbij aan het feit dat niet alle paren elkaar ontmoeten. Zoals boven bescheven is het gewicht van een directe ontmoeting h keer zo groot als van een keer spelen in dezelfde windrichting (h=halve top) *). Dat betekent dat voor een goede balans paren die elkaar ontmoeten veel minder vaak in dezelfde windrichting horen te spelen dan paren die elkaar niet ontmoeten.
Home

Het "één sterk paar" model

Een Voorbeeld

Om het belang van de balans te illustreren bekijken we een extreem voorbeeld. Tijdens een zitting van 12 paren, 6 ronden, spelen alle paren aan alle tafels steeds 50-50. Behalve paar 1 die op alle spellen een volle top scoort. Terecht scoort paar 1 dan ook na afloop 100%. Nu zou je verwachten dat de overige 500% gelijkelijk verdeeld worden over de andere 11 paren, die dus 45.45% zouden moeten scoren. Dat zou inderdaad het geval zijn als we een schema konden vinden met een perfecte balans.

Maar als er gespeeld werd met het Mitchell schema:

 1- 7 A    2- 8 B    3- 9 C    4-10 D    5-11 E    6-12 F
 1-11 C    2- 7 F    3-10 E    4-12 B    5- 8 D    6- 9 A
 1- 9 D    2-12 C    3- 8 A    4- 7 E    5-10 F    6-11 B
 1-12 E    2-10 A    3-11 F    4- 8 C    5- 9 B    6- 7 D
 1- 8 F    2- 9 E    3- 7 B    4-11 A    5-12 A    6-10 C
 1-10 B    2-11 D    3-12 D    4- 9 F    5- 7 C    6- 8 E
ziet de uitslag er als volgt uit:
 paar  1 100.00
 paar  2  40.00
 paar  3  40.00
 paar  4  40.00
 paar  5  40.00
 paar  6  40.00
 paar  7  50.00
 paar  8  50.00
 paar  9  50.00
 paar 10  50.00
 paar 11  50.00
 paar 12  50.00
De scores van de andere paren lopen uiteen van 40 tot 50% zoals we zien. Interessant is ook dat de paren die zich door paar 1 lieten verschalken nog steeds 50% scoren, terwijl zij die paar 1 niet eens als tegenstander hadden maar 40% krijgen.

We gaan nu het schema verbeteren als volgt. In ronde 3 hebben alle tafels een draaironde, behalve tafel 1.

 1- 7 A    2- 8 B    3- 9 C    4-10 D    5-11 E    6-12 F
 1-11 C    2- 7 F    3-10 E    4-12 B    5- 8 D    6- 9 A
 1- 9 D   12- 2 C    8- 3 A    7- 4 E   10- 5 F   11- 6 B
 1-12 E    2-10 A    3-11 F    4- 8 C    5- 9 B    6- 7 D
 1- 8 F    2- 9 E    3- 7 B    4-11 A    5-12 A    6-10 C
 1-10 B    2-11 D    3-12 D    4- 9 F    5- 7 C    6- 8 E
Dan wordt het resultaat:
 paar  1 100.00
 paar  2  43.33
 paar  3  43.33
 paar  4  43.33
 paar  5  43.33
 paar  6  43.33
 paar  7  46.67
 paar  8  46.67
 paar  9  50.00
 paar 10  46.67
 paar 11  46.67
 paar 12  46.67
Paar 1 speelt nog steeds precies dezelfde spellen tegen dezelfde tegenstanders als in het oorspronkelijke schema. Toch liggen de resultaten nu veel dichter bij elkaar. De afwijkingen van het gemiddelde 45.45 zijn nu ruwweg twee keer zo klein. Dat de schommelingen nu veel kleiner zijn is een gevolg van de verbeterde balans. Het eerste schema heeft kwaliteitsfactor Qf=46.67, standaard deviatie sd=2.99, het tweede Qf=84, sd=1.29.

We laten ook nog even een desastreus effect zien van te veel draaien:
schema met 2 draaironden:

 1- 7 A    2- 8 B    3- 9 C    4-10 D    5-11 E    6-12 F
 1-11 C    2- 7 F    3-10 E    4-12 B    5- 8 D    6- 9 A
 9- 1 D   12- 2 C    8- 3 A    7- 4 E   10- 5 F   11- 6 B
12- 1 E   10- 2 A   11- 3 F    8- 4 C    9- 5 B    7- 6 D
 1- 8 F    2- 9 E    3- 7 B    4-11 A    5-12 A    6-10 C
 1-10 B    2-11 D    3-12 D    4- 9 F    5- 7 C    6- 8 E
We nemen weer aan dat paar 1 steeds een top haalt en dat aan alle overige tafels een gelijk resultaat bereikt wordt. Met dit schema wordt de uitslag:
 paar  1 100.00
 paar  2  53.33
 paar  3  53.33
 paar  4  46.67
 paar  5  53.33
 paar  6  46.67
 paar  7  50.00
 paar  8  36.67
 paar  9  43.33
 paar 10  36.67
 paar 11  36.67
 paar 12  43.33
Toevalligheden in parenbridge kunnen we niet uitschakelen. Als uw tegenstanders bijvoorbeeld als enigen een koud slem uitbieden kunt u daar niets aan doen, maar u krijgt toch een 0. Maar toevalligheden die voortvloeien uit een slechte balans kunnen we behoorlijk terugdringen door geschikte schema's te gebruiken.

Tips:

Nog zo'n voorbeeld

Hetzelfde verhaal voor de Mitchell voor 14 paren en 7 ronden die we boven bespraken. We geven de score voor een zitting waarin paar 1 steeds de top haalt en andere paren steeds gelijk spelen maar meteen in tabelvorm:
draaironden:    geen       1         2         3
Qf              46.94     92        49.64     32.71

paar 1         100.00    100.00    100.00    100.00
paar 2          41.67     46.43     46.43     46.43
paar 3          41.67     46.43     51.19     51.19
paar 4          41.67     46.43     51.19     55.95
paar 5          41.67     46.43     51.19     55.95
paar 6          41.67     46.43     51.19     51.19
paar 7          41.67     46.43     46.43     46.43
paar 8          50.00     45.24     45.24     40.48
paar 9          50.00     45.24     40.48     40.48
paar 10         50.00     45.24     40.48     40.48
paar 11         50.00     45.24     40.48     40.48
paar 12         50.00     45.24     45.24     45.24
paar 13         50.00     45.24     45.24     40.48
paar 14         50.00     50.00     45.24     45.24
We zien weer in de eerste kolom de perfecte balans zolang er voor de twee groepen NZ en OW apart een uitslag opgemaakt wordt. Maar voor een gezamenlijke uitslag deugt het natuurlijk niet. In kolom 2, 1 draaironde, liggen de uitslagen van de paren die tegen paar 1 speelden en zij die in dezelfde richting speelden keurig dicht bij elkaar met een enkele uitzondering. In kolommen 2 en vooral 3 zien we weer het effect van overcompensatie voor het al of niet tegen elkaar uitkomen. Voor de volledigheid, de draaironden in bovenstaand voorbeeld zijn respectievelijk 2, 2+3, 2+3+4.

2 sterke paren

Ik heb ook simulaties gedaan voor een denkbeeldige wedstrijden met 2 topparen in een veld van gelijke spelers. Voor een voorbeeld, al weer voor de 14 paren Mitchell,klik hier.

Perfecte schema's

Bestaan er wel schema's met een perfecte balans? Jawel, de Howells met een even aantal tafels kunnen dat bereiken. Dus een Howell-4 met 4 paren en 3 ronden, Howell-8 met 8 paren, 7 ronden, (de teamschema's voor 8 paren en 7 ronden zijn hiervan vernummerde versies), een Howell-12, met 12 paren en 11 ronden, een Howell-16 met 16 paren en 15 ronden, enz.

Voor een clubavond is een schema met 11 ronden niet bijster geschikt. 22 spellen is te weinig, 33 te veel. Maar er is een uitkomst voor de perfectionistische wedstrijdleider! Verdeel je club in lijnen van precies 12 paren en doe een Howell-12 in 2 zittingen, 1 van 6 ronden en een van 5 ronden. Als je dan op de eerste avond 4 spellen per ronde doet en op de tweede 5 zou je de scores kunnen wegen zodat er met elk tegenstanderpaar evenveel punten te verdelen zijn. Maar gebruik dan niet het schema van het Groot Schemaboek pag 16 (Qf=67.35), maar bijgaande variant, (Qf=100).

Op pagina 72 van het Groot Schema Boek 2002 schrijft Schiereck:

Het liefst zien we 100%, maar slechts de Howells van een even aantal tafels bereiken dat.
Het is zelfs zo dat een Howell-16 in meerdere zittingen dat niet meer heeft, ik heb er eentje met Qf = 90 en ik heb er vertrouwen in dat dat niet beter kan.

Howell-16's in 2 zittingen en in 3 zittingen, met Qf=100 zijn inmiddels bekend. De laatste is een schema uit de 80-er jaren van Vermaseren dat onlangs herontdekt werd (dank aan Marc van Beijsterveld die dit schema uit de archieven van de NBB opdiepte). Zie verder de tabel hieronder.

Bij een Howell-6 of Howell-10 lukt het niet zonder meer een perfecte balans te bereiken. Hier is echter nog wel een mouw aan te passen bijvoorbeeld met schema's waarin het aantal ronden twee keer zo groot is, of waarin per ronde 2 sets spellen gespeeld worden. Zulk een Howell-6 met Qf=100 vindt men in "Movements a Fair Approach". Dit schema heeft Qf1av= 66.67, Qf1max= 100. Een belangrijke verbetering kan hier bereikt worden door optimalisatie van de "vacancy quality". Met behulp van programma "balans" vindt men in no time een superperfect schema met Qf1av=100. Dat gaat dan wel ten koste van af en toe draaien van windrichting halverweg de ronde. Ziehier een superperfecte variant met slechts één ronde met draaien.
Van Joop van Wijk zijn deze Howell-10 in 3 zittingen van 6 ronden en Howell-10 in 2 zittingen van 9 ronden en Howell-10 in 1 zitting van 9 ronden, alle 3 eveneens met Qf=100. De laatste met 2 spelgroepen per ronde. De vacancy quality is bij deze 3 schema's al goed, en slechts marginaal te verbeteren.

Schema's met perfecte balans

 4 paren  3 ronden  1 zitting   Qf=100
 4 paren  6 ronden  1 zitting   Qf=100   paren ontmoeten elkaar 2 keer
 6 paren  5 ronden  1 zitting   Qf=100   2 spelgroepen per ronde
 8 paren  7 ronden  1 zitting   Qf=100   of deze
10 paren  9 ronden  1 zitting   Qf=100   2 spelgroepen per ronde
10 paren 18 ronden  2 zittingen Qf=100
10 paren 18 ronden  3 zittingen Qf=100
12 paren 11 ronden  1 zitting   Qf=100
12 paren 11 ronden  2 zittingen Qf=100
12 paren 11 ronden  3 zittingen Qf=100
14 paren 13 ronden  1 zitting   Qf=100   2 spelgroepen per ronde
14 paren 26 ronden  2 zittingen Qf=100
16 paren 15 ronden  1 zitting   Qf=100
16 paren 15 ronden  2 zittingen Qf=100
16 paren 15 ronden  3 zittingen Qf=100

zie ook de tabel Monsterschema's voor schema's voor meerdere zittingen
met een bijna perfecte balans,

Het gedrag van schema's met een perfecte balans in een wedstrijd met 2 sterke paren is interessant genoeg om een aparte pagina aan te wijden. Het blijkt dan dat er ook nog gradaties in perfectie zijn. Zie Perfecte en Superperfecte Schema's.

Individuele Schema's

Bij de keuze van schema's voor individuele wedstrijden spelen naast de balans nog heel andere overwegingen. Zie individuele pagina.

Historische ontwikkeling

Dit paragraafje is waarschijnlijk hoogst onvolledig. Alle informatie over historische aspecten van de balans in parenschema's is welkom op mijn e-mail adres.

Het concept "balans" is waarschijnlijk niet veel jonger dan het wedstrijd-bridge. De mathematische grondslag voor de hier gegeven beschouwingen over de balans werd gelegd door John Manning (1979) in een artikel onder de titel The Mathematics of Duplicate Bridge Tournaments.

In het boek : "Movements - a fair approach" (1994) vindt men ook discussielijnen die zouden hebben kunnen leiden tot het boven geschetste model, maar zoals gezegd, bij de praktische toepassing laten de auteurs het afweten. Het werk van John Manning was blijkbaar onbekend aan deze auteurs.

Paul Vermaseren ontwikkelde in de 80-er jaren een effectief computerprogramma voor het optimaliseren van Howellschema's. Van zijn hand verschenen in de WekoWijzer een aantal perfect gebalanceerde Howells in meerdere zittingen, onder andere de in de hierboven opgenomen Howell-16 in 3 zittingen. Dit werk kreeg niet de aandacht die het verdiende. Zo zien we in het Groot Schemaboek 2002 weer een aantal minder goede Howells in meerdere zittingen

De hier gebruikte "kleinste kwadraten" behandeling kwam ik tegen in het Groot Schema Boek van Schiereck (2002), en op een webpagina van John Manning. Beide ontwikkelingen vonden klaarblijkelijk onafhankelijk van elkaar plaats. Zoals ook uit de openingszin van het Groot Schema Boek blijkt is het Gerrit van der Velde die voor dit aspect verantwoordelijk is. Hij ontwikkelde in de 90-er jaren een computerprogramma om de balans te optimaliseren, waaraan een aantal geoptimaliseerde schema's in dat boek te danken zijn, en waar ook in "balans" van gebruik gemaakt wordt.

De "1 per 8" regel voor het optimale aantal draaironden bij Mitchellschema's vindt men al in het bovengenoemde artikel van Manning (1979), en werd in wijdere kring bekend door het werk van John Probst.
De kleinste kwadratenmethode voor het karakteriseren van de balans, en aanbevelingen voor het optimale aantal "arrow switches" werden ook gegeven door Ross Moore (1992). Toch sijpelt dit resultaat maar langzaam in Nederland door.

Home