Maar niet alleen welke tegenstanders je ontmoet is bepalend. Als je een bepaald spel als NZ speelt zijn de paren die dit spel ook als NZ spelen indirect jouw tegenstanders. Immers als zij het beter doen dan jij gaat jouw score omlaag en vice versa. Omgekeerd zijn de OW paren jouw medestanders. Als zij het goed doen is dat juist goed voor jouw score.
Wat een wedstrijdschema met een goede balans nu probeert is er voor te zorgen dat je effectief even vaak (of beter gezegd met hetzelfde gewicht) vergeleken wordt met alle andere paren. Dit ideaal is vaak niet bereikbaar. Maar wel blijkt dat veel bestaande schema's met eenvoudige ingrepen zo veranderd kunnen worden dat de balans een stuk beter wordt.
In het eerste geval, beiden zelfde windrichting, een slecht resultaat van x is gunstig voor y
In het tweede geval, tegengestelde windrichting, een goed resultaat van x is gunstig voor y.
De impact is in beide gevallen even groot, maar een stuk kleiner dan van een directe ontmoeting (we zullen verderop zien hoeveel kleiner). Voor de balans moeten dus twee paren die een directe ontmoeting hebben (een slecht resultaat van x is gunstig voor y) relatief veel vaker in tegengestelde windrichting zitten (een goed resultaat van x is gunstig voor y) om de directe ontmoeting te compenseren. We zullen zien dat als gevolg hiervan er verrassend weinig draaironden nodig zijn in een draaiende Mitchell of Scheveningen.
Als u niet in technische details geinteresseerd bent kunt u de volgende paragrafen overslaan en direct doorgaan naar Resultaten. Het is wel van belang te weten dat als kenmerk van de kwaliteit van een schema de kwaliteitsfactor gebruikt wordt. Dit is een getal Qf dat waarden tussen 0 en 100 kan aannemen. Als je de kwaliteitsfactor door 10 deelt krijg je iets wat goed te vergelijken is met een Nederlands rapportcijfer: 6 of minder is matig tot slecht, 8 is goed, 9 of hoger is uitmuntend.
P = aantal paren (even) r = aantal ronden t = P/2 = aantal keer dat een spel gespeeld wordt b = aantal spellen per ronde h = t-1 is halve top op een spel N = P * (P-1) /2 = aantal mogelijke combinaties van 2 paren. S = t * r * b * h = "amount of competition" We nemen verder voor het gemak b=1 (maakt voor de balans niet uit).Bereken voor ieder van de N mogelijke combinaties van paren, een score die de som is van bijdragen van ieder spel, als volgt:
We noemen nu SS = de som van de kwadraten van al deze scores, en dit getal willen we minimaliseren om de balans te optimaliseren.
De boven uiteengezette methode is ontleend aan
https://www.ebu.co.uk/documents/media/bridge-movements-the-maths.pdf
https://chrisryall.net/memories/john.manning.htm
F.C. Schiereck, Goot Schemaboek N.B.B. Versie 2012
|
Een gewijzigde versie van deze kwaliteitsfactor houdt er rekening
mee dat de scores gehele getallen zijn, zodat ze niet exact gelijk
aan S/N kunnen worden, immers S/N is meestal geen geheel getal.
We proberen nu een set van N gehele getallen te vinden waarvan de
som gelijk is aan S en waarvan de som van de kwadraten minimaal is.
Dit minimum van de som van de kwadraten gebruiken we in plaats van
S2 / N in bovenstaande formule.
We houden deze gewijzigde versie, Qf genaamd, maar aan om vergelijking met
de resultaten van Van der Velde en Schiereck mogelijk te maken.
Het verschil tussen Qc en Qf is meestal niet erg groot.
Daarnaast definiëren we ook voor de ontmoetingen een kwaliteitsfactor Qo. Qo=100 als alle paren elkaar even vaak ontmoeten. De berekening van Qo gaat zoals die van Qc, met als enige verschil dat we bij de berekening van S en SS (zie boven) enkel en alleen de bijdragen +h meenemen van paren die tegen elkaar spelen.
|
|
|
De scores kunnen worden gerepresenteerd in een P bij P matrix, de zogenaamde scorematrix. Dit is een symmetrische matrix waarvan de diagonaal ongedefinieerd is. Ieder element geeft de onderlinge score weer van twee paren.
In navolging van Schiereck en Manning gebruiken we hier het woord 'score', mogelijk een verwarrende term. Als de combinatie paar1-paar2 een hoge score heeft betekent dat "een goed resultaat voor paar1 is slecht voor paar2", en vice versa. 'Correlatie' was misschien een beter woord geweest.
| Paar | Contract | Res. | Score | MP | ||
| NZ | OW | NZ | OW | |||
| 1 | 3 SA | C | +600 | 3 | ||
| 2 | - 1 - | -600 | 5 | |||
| 3 | 3 SA | C | +600 | 3 | ||
| 4 | - 3 - | -600 | 5 | |||
| 5 | 3 SA | C | +600 | 3 | ||
| 6 | - 5 - | -600 | 5 | |||
| 7 | 3 SA | +1 | +630 | 8 | ||
| 8 | - 7 - | -630 | 0 | |||
| 9 | 3 SA | C | +600 | 3 | ||
| 10 | - 9 - | -600 | 5 | |||
Zie de scorekaart hiernaast. Het gemiddelde aantal MP is h=4. Omdat paar 7 een top haalt krijgen de andere paren in dezelfde windrichting 1 MP minder, en de paren in tegengestelde windrichting 1 MP meer.
In andere woorden: wat betreft de invloed op de score is een keer tegen een paar spelen equivalent met h keer spelen in dezelfde windrichting als dat paar.
|
De eerste versies van "balans" gebruikten de volgende strategie.
In eerste instantie worden alle tafels ´én voor ´én gedraaid.
De verwisseling die de grootste verbetering van de balans oplevert wordt
behouden. Dit proces wordt herhaald met deze verbeterde configuratie tot
er geen verbetering meer optreedt.
We doen ditzelfde met andere uitgangsposities waarbij een random number
generator bepaalt welke tafels in de uitgangsposities gedraaid worden.
Bij iedere verbetering wordt uiteraard het tot nu toe beste schema
behouden.
Inmiddels is Gerrit van der Velde zo vriendelijk geweest mij zijn programma ter beschikking te stellen (zie Historische ontwikkeling). De strategie die hierin gevolgd wordt is ontleend aan een methode die in de vaste stoffysica gebruikt worden om o.a. het kristallisatieproces te modelleren. Hier worden in random volgorde de tafels gedraaid. Niet alleen gunstige verwisselingen worden geaccepteerd maar soms ook verwisselingen die de balans verslechteren. Wanneer en hoeveel hangt af van een parameter "temperatuur". Door de temperatuur afwisselend te verhogen en te verlagen hoop je uit nevenminima te ontsnappen en uiteindelijk het absolute minimum te bereiken. Ook hier wordt weer het overall beste schema behouden.
Het bleek dat deze strategie vooral bij grote aantallen tafels veel effectiever was. Daarom heb ik die overgenomen en een aangepaste versie van de belangrijkste subroutine van dit programma maakt sinds versie 4 onderdeel uit van "balans". Een aantal grote schema's uit de tabellen "Monsters" en "Draaiende Mitchells" kon hierdoor verbeterd worden.
Versie 7 van balans is een belangrijke revisie, en gezamenlijk ontwikkeld door Ulrik Dickow en mij. In deze versie wordt de vacancy quality geintroduceerd, en is tevens de boven beschreven strategie sterk verbeterd door Ulrik, waardoor het programma veel sneller is geworden.
In versie 7.4 voegde hij een optie toe om het optimalisatie-algoritme te kiezen en af te stemmen. De nieuwe langzame afkoeling modus gaat terug op de eenvoudigst mogelijke, klassieke 1983 "simulated annealing". De optie is vooral nuttig voor lastige schema's die een Howell-achtige structuur bevatten (paar A en paar B ontmoeten paar C maar ook elkaar), en bereikt vaak diepere minima dan de standaard methode van snelle temperatuurwisselingen en andere truukjes om snel een goed resultaat te bereiken. (ongeduldige/wilde modus)
Is er een garantie dat het absolute optimum gevonden wordt? Nee, geen van beide methodes kan deze garantie geven. Van de vele mogelijkheden om n van de N tafels te draaien worden er maar een beperkt aantal onderzocht. Voor de meeste kleinere schema's vindt er geen verbetering plaats na een paar honderd iteraties. Maar zeker voor de grotere schema's blijft de mogelijkheid op verdere verbeteringen bestaan.
balans [opties] <schemafile>Enkele opties zijn (voor een volledige lijst zie de file README.html):
-c : check het schema, geen optimalisatie -s n : doe optimalisatie voor n iteraties -r n : hou rij n vast (= ronde n) -t n : hou kolom n vast (= tafel n) -f n : hou de eerste n posities vast. -h : geef een korte beschrijving van de optiesAantal iteraties is het aantal pogingen tot verbetering dat wordt uitgevoerd. Een paar duizend is meestal voldoende.
Het is vaak wenselijk om de eerste ronde vast te houden. Dit kan zonder verlies van algemeenheid, tenzij het aantal tafels groter is dan het aantal spelgroepen. Dan kun je nog wel zonder bezwaar zoveel tafels in de eerste ronde vasthouden als er spelgroepen zijn. Optie -f is speciaal voor dit geval.
Toepassing van het vasthouden van een kolom: bij een schema van 14 paren, 6 ronden, zit paar 14 (of 13) permanent aan tafel 7. Het is voor dit paar prettig als ze constant NZ of OW zitten. Je kunt dus proberen of dit mogelijk is met behoud van de optimale balans.
De normale uitvoer van het programma bevat tevens de kwaliteitsfactoren voor het geval van een afwezig paar, voor alle mogelijke keuzes welk paar afwezig is.
8 6 6 6 0 1- 2 A 3- 4 B 5- 6 C 7- 8 D 0- 0 0 0- 0 0 3- 6 A 1- 7 B 0- 0 0 0- 0 0 5- 8 E 4- 2 F 7- 5 A 8- 6 B 1- 4 C 2- 3 D 0- 0 0 0- 0 0 4- 8 A 0- 0 0 0- 0 0 1- 6 D 2- 7 E 5- 3 F 0- 0 0 5- 2 B 3- 7 C 0- 0 0 6- 4 E 1- 8 F 0- 0 0 0- 0 0 8- 2 C 5- 4 D 1- 3 E 7- 6 FIn dit voorbeeld is het aantal tafels groter dan de helft van het aantal paren. De niet in gebruik zijnde tafels worden in het schema aangeduid met nullen. De paren hebben opeenvolgende nummers te beginnen met 1. De symbolen om spelgroepen aan te geven mogen cijfers of letters zijn. Voor verdere mogelijkheden klik hier
Voor een voorbeeld van de uitvoer, klik hier.
Het programma is geschreven in C, ontwikkeld in de MinGW omgeving, en gecompileerd met gcc.
Speciale dank is verschuldigd aan Gerrit van der Velde voor het beschikbaar stellen van zijn code, en aan Joop van Wijk voor kritisch commentaar en waardevolle suggesties in alle stadia van dit werk.
orig.: Qf van oorspronkelijke schema
opt. : Qf na optimalisatie door verwisselingen NZ <-> OW
orig. opt. Opmerkingen
schiereck8: 80.00 Short Howell 8
schiereck10: 83.76 Aarzelend Scheveningen 10
schiereck12: 67.74 Short Howell 12
schiereck12S: 46.67 84.00 Scheveningen 12
schiereck14: 39.54 70.41 Onv. Mitchell 7+7
nbb8: 60.00 80.00 NBB Multiplex 1993
nbb10: 42.42 77.47
nbb12: 34.81 79.75
nbb14: 35.59 60.41
Met de balans bij de NBB Multiplex schema's is het droef gesteld. Deze conclusie was voor Joop van Wijk en mij aanleiding tot het project Teamschema's, zie volgende paragraaf.
Het schema voor 12 paren en 6 ronden is een geval apart. Het beste ons bekende schema hiervoor is de Scheveningen-12 uit het Groot Schema Boek, en daarvan de geoptimaliseerde versie, Qf=84. In dit schema worden in de laatste 2 ronden tussen twee tafels de spellen gedeeld. De kans is klein dat dit vergissingen oplevert omdat een van de paren blijft zitten. Toch is gekozen voor een schema zonder leentafels, met een wat slechtere balans, Qf=79.75.
We noemen deze set "Team" schema's,
en na enkele wijzigingen en toevoegingen in 2011 TeamPlus schema's.
Er zijn twee soorten schema's genaamd Howell (eigenlijk Short Howell) en
Draaiend Scheveningen. In beide gevallen is de indeling in de eerste
ronde gelijk aan de universele startpositie. De scores van de eerste
ronde kunnen dus ongewijzigd gehandhaafd blijven ook als het nodig is
op een ander schema over te gaan wegens wegblijvers.
Bij de Howell's is paar 1 altijd vast, NZ op tafel 1. Hier kun je dus mooi iemand neerzetten die slecht ter been is, of die speciale voorzieningen nodig heeft. Verder veranderen de spelers en de spellen bij iedere nieuwe ronde van tafel. Het aantal tafels is zo klein mogelijk, dus bijvoorbeeld bij 10 paren heb je maar 5 tafels nodig, geen 6 of 7.
Bij de Draaiend Scheveningen zijn alle spellen zo veel mogelijk tafelvast.
Bij een schema voor 7 ronden en 10 paren neem je dus 7 tafels in gebruik, geen 5.
Aan de leentafels is er altijd een vast paar.
Wat betreft de indeling zijn beide soorten schema's gelijk. Dezelfde paren ontmoeten elkaar en spelen dezelfde spellen. Alleen de tafelschikking verschilt.
Bij de schema's is aandacht besteed aan de eis dat ook bij het ontbreken van een paar nog een goede balans overblijft.
De schema's voor 8 ronden zijn een latere toevoeging. Op veel clubs speelt men een schema van 6 ronden van 4 spellen per avond. Er is veel voor te zeggen dit te vervangen door 8 ronden van 3 spellen. De zitting duurt daardoor een minuut of 5 langer, maar daar staat tegenover dat men meer paren tegenkomt, en dat de balans een stuk beter is. En bovendien, als er eens een rusttafel is, is het stilzitten van kortere duur.
In de volgende tabel is Qf de kwaliteitsfactor bij een even aantal paren,
Qf1 de kwaliteitsfactor als het hoogste paarnummer ontbreekt.
T E A M S C H E M A ' S
paren ronden Qf Qf1 Howell Sch 6 6 83.33 80 y 8 6 80 71.74 y y Zie 8p6rGSBopt.asc voor een betere keuze 10 6 83.76 75.79 y y 12 6 79.75 71.81 y y 14 6 70.41 70.36 - y 16 6 76.92 71.92 - y 8 7 100 100 y y 10 7 84.94 82.93 y y 12 7 76.87 75.82 y y 14 7 92 85.09 y y 16 7 78.74 72.17 - y 18 7 63.95 62.38 - y 8 8 87.50 86.36 y - 10 8 89.51 82.50 y y 12 8 85.38 78.33 y y 14 8 82.46 78.15 y y 16 8 94.64 88.64 y y
De volgende tabel geeft de kwaliteitsfactor Qf van enkele van deze extra schema's.
Qf1 is de kwaliteitsfactor als het hoogste paarnummer ontbreekt.
G R O T E G R O E P E N S C H E M A ' S
paren ronden Qf Qf1 18 6 55.80 58.46 20 6 47.22 47.49 22 6 42.82 42.88 24 6 48.48 47.75 20 7 61.38 59.67 22 7 52.09 49.95 24 7 47.05 45.06
voor iedere mogelijke keus van 2 paren:.
Een andere oplossing is het gebruik van cyclisch vernummerbare schema's. Hierbij wordt iedere avond hetzelfde speciale schema gebruikt, met een simpel vernummeringsvoorschrift. Zie het Groot Schemaboek 2012. Met cyclische schema's bereiken we wel een zo eerlijk mogelijke verdeling van de onderlinge ontmoetingen, maar meestal schiet de balans er bij in. Bijvoorbeeld, na 5 zittingen met het cyclische schema voor 16 paren en 6 ronden (GSB 2012) hebben alle paren elkaar precies 2 keer ontmoet, maar de balans is verre van perfect, Qf=80.55.
De cyclische schema's kunnen allen een bijna perfecte balans bereiken door 5 of 6 zittingen gezamelijk te optimaliseren. Wie er niet tegen op ziet om 5 verschillende schema's te hanteren kan hier de balans dus behoorlijk opvoeren. Enkele voorbeelden bij de monsterschema's hieronder.
Nog beter is het om een van de Howells in meerdere zittingen te gebruiken. Een speciaal geval is de Howell-16 in 3 zittingen die niet alleen een perfecte balans heeft, maar waarbij tevens alle 3 de zittingen hetzelfde schema hebben. Dit schema valt dus ook onder de cyclische schema's.
Bij onregelmatige, onvoorspelbare opkomst, zoals bij clubcompetities heel vaak het geval is, moeten we misschien wat water bij de wijn doen, maar natuurlijk nog wel een optimale benadering van het ideaal proberen te bereiken. Twee dingen zijn daarbij van belang:
Voor meer informatie over picolo, zie https://www.pjms.nl/PICOLO
Hierbij is een waarschuwing wel op zijn plaats: gebruik dit soort schema's alleen voor toernooien en competities met vaste opkomst. Door het optimaliseren over meerdere zittingen gaat de balans per zitting namelijk fors achteruit zodat u bij wisselende opkomst van de regen in de drup belandt.
De onderstaande schema's zijn beschikbaar op de downloadpagina.
paren ronden zittingen ronden per zitting ontmoetingen Qf Qo type 10 18 2 9 2 100 100 monster 10 18 3 6 2 100 100 monster 12 11 2 5 en 6 1 100 100 gedrocht 12 11 3 3 en 4 1 100 100 gedrocht 12 24 4 6 2 à 3 99.24 96.97 vals monster (nov. 2008) 12 30 5 6 2 à 3 99.55 97.40 vals monster (nov. 2008) 14 26 2 13 2 100 100 monster 14 26 4 6 en 7 2 99.03 100 gedrocht (nov. 2008) 14 24 4 6 1 à 2 98.74 96.32 vals monster (nov. 2008) 14 30 5 6 2 à 3 99.26 96.15 vals monster (nov. 2008) 14 36 6 6 2 à 3 99.52 97.74 vals monster (nov. 2008) 14 39 6 6 en 7 3 99.38 100 gedrocht 16 15 2 7 en 8 1 100 100 gedrocht 16 15 3 5 1 100 100 monster (Sep. 2007) 16 30 5 6 2 99.12 100 monster (Sep. 2007) 18 17 3 6, 6, 5 1 94.74 100 gedrocht 20 19 3 6, 6, 7 1 96.10 100 gedrocht 22 21 3 7 1 95.98 100 monster 24 23 3 8, 8, 7 1 96.58 100 gedrochtVoor 8 paren en 6 ronden per zitting bieden onderstaande vernummeringtabellen goede mogelijkheden. Daarbij zelfs een alternatief met perfecte balans.
Maar er zijn nu eenmaal clubs, die wel een vaste opkomst hebben, maar die ook per se willen vasthouden aan een stramien van een vast aantal ronden per zitting en een bepaald aantal zittingen per competitie. Voor zulke clubs heb ik een aantal vernummeringstabellen opgesteld uitgaande van de teamschema's. In feite zijn dit dus ook monsterschema's, met als extra eigenschap dat in iedere zitting hetzelfde schema gebruikt wordt.
Dit is ook een goede test voor de geschiktheid van de teamschema's voor dit doel. Bij het uitzoeken van die schema's is immers voornamelijk gelet op een goede balans voor een enkele zitting, en is geen aandacht besteed aan de geschiktheid voor een competitie in meerdere zittingen. Het blijkt uit de resultaten dat de meeste teamschema's prima geschikt zijn voor competities in 5 of 6 zittingen, en bij optimale vernummering zowel een goede verdeling van de ontmoetingen als een goede balans opleveren. Slechts twee schema's bleven in het eerste opzicht beneden de maat, met name het teamschema voor 14 paren en 7 ronden, en het schema voor 16 paren en 8 ronden. Voor deze twee zijn ook vernummeringstabellen opgesteld voor alternatieve schema's, te weten een speciaal voor dit doel gemaakt schema, en de cylische schema's uit het GSB.
|
Een eenvoudige variatie op dit thema is:
- De NZ paren gaan één tafel omhoog.
- De OW paren gaan één tafel omlaag
- De spellen blijven liggen.
Dit idee werkt prima voor een oneven aantal tafels. Maar bij een even aantal treden er doublures op na de eerste helft van de zitting. Een oplossing voor dit probleem is de Relay Mitchell. Deze heeft echter het nadeel dat twee tafels in alle ronden de spellen moeten delen.
Een betere oplossing is de Double Weave Mitchell. Het schema zit ingewikkelder in elkaar, maar het delen van spellen wordt vermeden. Helaas werkt deze methode alleen als het aantal tafels een veelvoud van 4 is, dus 4, 8, 12 ...
Een andere optie voor een even aantal tafels, de Skip Mitchell, laten we buiten beschouwing, omdat daar de NZ paren niet alle OW paren ontmoeten.
Voor een beschrijvng van bovengenoemde schema's zie "Movements - a fair approach" door Hallén, Hanner en Jannersten.
We kijken onder ook naar een aantal "Scheveningen" schema's uit het "Groot Schemaboek 2002" door F.C. Schiereck. Ook bij deze schema's ontmoeten de NZ paren alleen OW paren. De spellen blijven liggen, de NZ paren hebben oneven nummers en de OW paren even nummers. Voor oneven aantal tafels zijn deze schema's equivalent met de Standaard Mitchell. Voor een even aantal zijn er wel belangrijke verschillen. In de meeste gevallen zijn er geen tafels die spellen samen delen
1- 8 A 2- 9 B 3-10 C 4-11 D 5-12 E 6-13 F 7-14 G 1-14 B 2- 8 C 3- 9 D 4-10 E 5-11 F 6-12 G 7-13 A 1-13 C 2-14 D 3- 8 E 4- 9 F 5-10 G 6-11 A 7-12 B 1-12 D 2-13 E 3-14 F 4- 8 G 5- 9 A 6-10 B 7-11 C 1-11 E 2-12 F 3-13 G 4-14 A 5- 8 B 6- 9 C 7-10 D 1-10 F 2-11 G 3-12 A 4-13 B 5-14 C 6- 8 D 7- 9 E 1- 9 G 2-10 A 3-11 B 4-12 C 5-13 D 6-14 E 7- 8 FEen genot voor het oog en ook perfect in balans, als je voor NZ en OW apart een uitslag berekent. Dit blijkt meteen uit de scorematrix:
* 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 * 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 * 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 * 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 * 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 * 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 * 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 * 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 * 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 * 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 * 7 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 *Als je maar één winnaar wil voldoet dit natuurlijk niet. Dit probleem kan worden opgelost door in één ronde alle tafels te draaien. Het doet er daarbij niet toe welke ronde. Bijvoorbeeld:
1- 8 A 2- 9 B 3-10 C 4-11 D 5-12 E 6-13 F 7-14 G 14- 1 B 8- 2 C 9- 3 D 10- 4 E 11- 5 F 12- 6 G 13- 7 A 1-13 C 2-14 D 3- 8 E 4- 9 F 5-10 G 6-11 A 7-12 B 1-12 D 2-13 E 3-14 F 4- 8 G 5- 9 A 6-10 B 7-11 C 1-11 E 2-12 F 3-13 G 4-14 A 5- 8 B 6- 9 C 7-10 D 1-10 F 2-11 G 3-12 A 4-13 B 5-14 C 6- 8 D 7- 9 E 1- 9 G 2-10 A 3-11 B 4-12 C 5-13 D 6-14 E 7- 8 F(Klik hier voor een meer gedetailleerde beschouwing.)
Door deze eenvoudige ingreep schiet Qf omhoog van 46.94 naar maar liefst 92. De nieuwe scorematrix wordt:
\ 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 0 3 \ 3 3 3 3 3 0 4 4 4 4 4 4 3 3 \ 3 3 3 3 4 0 4 4 4 4 4 3 3 3 \ 3 3 3 4 4 0 4 4 4 4 3 3 3 3 \ 3 3 4 4 4 0 4 4 4 3 3 3 3 3 \ 3 4 4 4 4 0 4 4 3 3 3 3 3 3 \ 4 4 4 4 4 0 4 4 0 4 4 4 4 4 \ 3 3 3 3 3 3 4 4 0 4 4 4 4 3 \ 3 3 3 3 3 4 4 4 0 4 4 4 3 3 \ 3 3 3 3 4 4 4 4 0 4 4 3 3 3 \ 3 3 3 4 4 4 4 4 0 4 3 3 3 3 \ 3 3 4 4 4 4 4 4 0 3 3 3 3 3 \ 3 0 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 \Maak niet de fout om twee ronden gedraaid te spelen. De balans stort dan weer in en Qf zakt tot 49.64.
Het effect van een en ander in denkbeeldige wedstrijden met een en twee sterke paren in een veld van zwakkere gelijke paren wordt verderop behandeld.
Voor 6 tafels en 6 ronden is zo'n regelmatig schema niet te maken, maar moet er geknutseld worden om te voorkomen dat paren twee keer dezelfde tegenstanders of dezelfde spellen tegenkomen. Een mogelijk schema is de Relay Mitchell voor 6 tafels:
1- 7 A 2- 8 B 3- 9 C 4-10 E 5-11 F 6-12 A 1-12 B 2- 7 C 3- 8 D 4- 9 F 5-10 A 6-11 B 1-11 C 2-12 D 3- 7 E 4- 8 A 5- 9 B 6-10 C 1-10 D 2-11 E 3-12 F 4- 7 B 5- 8 C 6- 9 D 1- 9 E 2-10 F 3-11 A 4-12 C 5- 7 D 6- 8 E 1- 8 F 2- 9 A 3-10 B 4-11 D 5-12 E 6- 7 Fwaarbij tafels 1 en 6 steeds dezelfde spellen spelen. Een andere mogelijkheid, waarbij er alleen in de laatste 2 ronden spellen gedeeld worden is de Scheveningen-12 op pag 5. van het Groot Schemaboek.
1- 2 A 3- 4 B 5- 6 C 7- 8 D 9-10 E 11-12 F 11- 6 A 7-12 B 1-10 C 9- 4 D 5- 8 E 3- 2 F 3- 8 A 9- 6 B 7- 4 C 11- 2 D 1-12 E 5-10 F 5- 4 A 11-10 B 3-12 C 1- 6 D 7- 2 E 9- 8 F 5-12 D 1- 8 B 9- 2 C 3-10 D 11- 4 E 7- 6 F 9-12 A 5- 2 B 11- 8 C 7-10 A 3- 6 E 1- 4 FOok van deze schema's kun je door één draaironde een schema met een goede balans maken. Draai je in de Relay Mitchell alle tafels met uitzondering van ofwel tafel 1 ofwel tafel 6, in één van de ronden, dan stijgt Qf van 46.67 naar 84. Bij de Scheveningen wordt hetzelfde effect bereikt door draaien van de windrichtingen in ronde 1, 2, 3, of 4. Draaien in een van de twee laatste ronden is minder goed maar levert nog steeds Qf= 79.75. Ook hier is het weer funest om in 2 ronden te draaien, Qf wordt dan omtrent 40.
We zien dus dat een enkele draaironde optimaal is voor volledige Mitchells van 12 en 14 paren. Toch is dit geen algemene regel. Bij een Mitchell voor 22 paren en 11 ronden bijvoorbeeld is één arrowswitch-ronde (Qf=89.2) nog wel beter dan twee (Qf=85.04), maar nog verder optimaliseren levert Qf=93.41.
In onderstaande tabel geven we een overzicht van de kwaliteitsfactor Qf van genoemde schema's, en het effect op de kwaliteit van draaironden
bijgewerkt april 2017
Aant ronden Type aantal draaironden beste waarde
= tafels 0 1 2 3
5 M 46.00 67.65 31.08 (2 5) 74.68 *)
6 RM 46.67 79.75 42.86 (2 3) 84.00 **)
6 GSB 46.67 84.00 40.65 (2 6) 84.00
7 M 46.94 92.00 49.64 (2 7) 92.00
8 RM 47.32 91.38 60.92 (2 7) 91.38
8 DWM 47.32 94.64 57.61 (2 5) 94.64 ***)
8 GSB 47.32 94.64 55.21 (2 8) 94.64
9 M 47.53 93.90 70.00 (2 7) 93.90
10 RM 47.78 90.03 78.93 (2 10) 93.80
10 GSB 47.78 91.88 77.12 (2 10) 93.80
11 M 47.93 89.23 85.04 (2 8) 93.41
12 RM 48.11 85.55 89.58 (2 12) 67.08 (2 3 12) 94.00
12 DWM 48.11 86.59 89.86 (2 4) 65.24 (2 4 8) 94.00
12 GSB 48.11 86.59 89.86 (2 12) 65.24 (2 3 12) 94.00
13 M 48.22 84.02 92.97 (2 8) 72.99 (2 7 8) 93.96
14 RM 48.35 81.08 94.27 (2 5) 79.06 (2 5 6) 94.77
14 GSB 48.35 81.70 94.44 (2 8) 77.36 (2 8 11) 94.77
15 M 48.44 79.56 95.49 (2 9) 83.03 (2 8 9) 95.49
Voetnoten
M = Standard Mitchell
RM = Relay Mitchell
DWM = Double Weave Mitchell
GSB = "Scheveningen" uit "Groot Schemaboek 2002" door F.C. Schiereck
De getallen tussen haakjes zijn de ronden die gedraaid zijn in de berekening.
*) Het optimum voor de Mitchell voor 5 tafels (10 paren) kan bereikt worden door in een
ronde 3 of 4 tafels te draaien.
**) Het optimum voor de Mitchell voor 6 tafels (12 paren) kan bereikt worden door in een
ronde alle tafels, behalve een van de "leen"tafels 1 of 6, te draaien.
***) Bij de DWM levert iedere volledige ronde draaien de optimale Qf, maar alleen ronde 1,4,5,8 geven
daarbij ook de optimale vacancy quality.
Bij nader inzien bleek het feit dat 1 draaironde meestal nodig en voldoende is geen nieuws.
Het voorbeeld voor de 7-tafel Mitchell waarmee deze paragraaf opende is ontleend aan John Manning, die hierover zegt: "The standard deviation works out at 1.05 and cannot be further reduced by switching more or fewer boards".
Al in 1979 besteedde John Manning aandacht aan het probleem van het optimale aantal draaironden, en gaf aan "A rough and ready rule is to switch about one eighth of the boards in a Mitchelltype movement."
John Probst heeft dit probleem wiskundig en algemeen onderzocht en komt tot dezelfde conclusie:
We must arrow switch slightly more than 1/8 of the rounds for fairness. Anything else is WRONG!!!
zie:
J.Manning:
The Mathematics of Duplicate Bridge Tournaments
(Bulletin of Institute of Mathematics and its Applications
Vol. 15, No. 8/9, August/September 1979, pp201 - 206)
J.Probst: https://www.blakjak.org/why_1in8.htm
zie ook: https://www.blakjak.org/lws_men1.htm
Ross Moore:
"Too many arrow-switches spoil the balance"
(1992) komt tot dezelfde conclusie.
Maar als er gespeeld werd met het Mitchell schema:
1- 7 A 2- 8 B 3- 9 C 4-10 D 5-11 E 6-12 F 1-11 C 2- 7 F 3-10 E 4-12 B 5- 8 D 6- 9 A 1- 9 D 2-12 C 3- 8 A 4- 7 E 5-10 F 6-11 B 1-12 E 2-10 A 3-11 F 4- 8 C 5- 9 B 6- 7 D 1- 8 F 2- 9 E 3- 7 B 4-11 A 5-12 A 6-10 C 1-10 B 2-11 D 3-12 D 4- 9 F 5- 7 C 6- 8 Eziet de uitslag er als volgt uit:
paar 1 100.00 paar 2 40.00 paar 3 40.00 paar 4 40.00 paar 5 40.00 paar 6 40.00 paar 7 50.00 paar 8 50.00 paar 9 50.00 paar 10 50.00 paar 11 50.00 paar 12 50.00De scores van de andere paren lopen uiteen van 40 tot 50% zoals we zien. Interessant is ook dat de paren die zich door paar 1 lieten verschalken nog steeds 50% scoren, terwijl zij die paar 1 niet eens als tegenstander hadden maar 40% krijgen.
We gaan nu het schema verbeteren als volgt. In ronde 3 hebben alle tafels een draaironde, behalve tafel 1.
1- 7 A 2- 8 B 3- 9 C 4-10 D 5-11 E 6-12 F 1-11 C 2- 7 F 3-10 E 4-12 B 5- 8 D 6- 9 A 1- 9 D 12- 2 C 8- 3 A 7- 4 E 10- 5 F 11- 6 B 1-12 E 2-10 A 3-11 F 4- 8 C 5- 9 B 6- 7 D 1- 8 F 2- 9 E 3- 7 B 4-11 A 5-12 A 6-10 C 1-10 B 2-11 D 3-12 D 4- 9 F 5- 7 C 6- 8 EDan wordt het resultaat:
paar 1 100.00 paar 2 43.33 paar 3 43.33 paar 4 43.33 paar 5 43.33 paar 6 43.33 paar 7 46.67 paar 8 46.67 paar 9 50.00 paar 10 46.67 paar 11 46.67 paar 12 46.67Paar 1 speelt nog steeds precies dezelfde spellen tegen dezelfde tegenstanders als in het oorspronkelijke schema. Toch liggen de resultaten nu veel dichter bij elkaar. De afwijkingen van het gemiddelde 45.45 zijn nu ruwweg twee keer zo klein. Dat de schommelingen nu veel kleiner zijn is een gevolg van de verbeterde balans. Het eerste schema heeft kwaliteitsfactor Qf=46.67, standaard deviatie sd=2.99, het tweede Qf=84, sd=1.29.
We laten ook nog even een desastreus effect zien van te veel draaien:
schema met 2 draaironden:
1- 7 A 2- 8 B 3- 9 C 4-10 D 5-11 E 6-12 F 1-11 C 2- 7 F 3-10 E 4-12 B 5- 8 D 6- 9 A 9- 1 D 12- 2 C 8- 3 A 7- 4 E 10- 5 F 11- 6 B 12- 1 E 10- 2 A 11- 3 F 8- 4 C 9- 5 B 7- 6 D 1- 8 F 2- 9 E 3- 7 B 4-11 A 5-12 A 6-10 C 1-10 B 2-11 D 3-12 D 4- 9 F 5- 7 C 6- 8 EWe nemen weer aan dat paar 1 steeds een top haalt en dat aan alle overige tafels een gelijk resultaat bereikt wordt. Met dit schema wordt de uitslag:
paar 1 100.00 paar 2 53.33 paar 3 53.33 paar 4 46.67 paar 5 53.33 paar 6 46.67 paar 7 50.00 paar 8 36.67 paar 9 43.33 paar 10 36.67 paar 11 36.67 paar 12 43.33Toevalligheden in parenbridge kunnen we niet uitschakelen. Als uw tegenstanders bijvoorbeeld als enigen een koud slem uitbieden kunt u daar niets aan doen, maar u krijgt toch een 0. Maar toevalligheden die voortvloeien uit een slechte balans kunnen we behoorlijk terugdringen door geschikte schema's te gebruiken.
Tips:
draaironden: geen 1 2 3 Qf 46.94 92 49.64 32.71 paar 1 100.00 100.00 100.00 100.00 paar 2 41.67 46.43 46.43 46.43 paar 3 41.67 46.43 51.19 51.19 paar 4 41.67 46.43 51.19 55.95 paar 5 41.67 46.43 51.19 55.95 paar 6 41.67 46.43 51.19 51.19 paar 7 41.67 46.43 46.43 46.43 paar 8 50.00 45.24 45.24 40.48 paar 9 50.00 45.24 40.48 40.48 paar 10 50.00 45.24 40.48 40.48 paar 11 50.00 45.24 40.48 40.48 paar 12 50.00 45.24 45.24 45.24 paar 13 50.00 45.24 45.24 40.48 paar 14 50.00 50.00 45.24 45.24We zien weer in de eerste kolom de perfecte balans zolang er voor de twee groepen NZ en OW apart een uitslag opgemaakt wordt. Maar voor een gezamenlijke uitslag deugt het natuurlijk niet. In kolom 2, 1 draaironde, liggen de uitslagen van de paren die tegen paar 1 speelden en zij die in dezelfde richting speelden keurig dicht bij elkaar met een enkele uitzondering. In kolommen 2 en vooral 3 zien we weer het effect van overcompensatie voor het al of niet tegen elkaar uitkomen. Voor de volledigheid, de draaironden in bovenstaand voorbeeld zijn respectievelijk 2, 2+3, 2+3+4.
Voor een clubavond is een schema met 11 ronden niet bijster geschikt. 22 spellen is te weinig, 33 te veel. Maar er is een uitkomst voor de perfectionistische wedstrijdleider! Verdeel je club in lijnen van precies 12 paren en doe een Howell-12 in 2 zittingen, 1 van 6 ronden en een van 5 ronden. Als je dan op de eerste avond 4 spellen per ronde doet en op de tweede 5 zou je de scores kunnen wegen zodat er met elk tegenstanderpaar evenveel punten te verdelen zijn. Maar gebruik dan niet het schema van het Groot Schemaboek pag 16 (Qf=67.35), maar bijgaande variant, (Qf=100).
Op pagina 72 van het Groot Schema Boek 2002 schrijft Schiereck:
Het liefst zien we 100%, maar slechts de Howells van een even aantal tafels bereiken dat.
Het is zelfs zo dat een Howell-16 in meerdere zittingen dat niet meer heeft, ik heb er eentje
met Qf = 90 en ik heb er vertrouwen in dat dat niet beter kan.
Howell-16's in 2 zittingen en in 3 zittingen, met Qf=100 zijn inmiddels bekend. De laatste is een schema uit de 80-er jaren van Vermaseren dat onlangs herontdekt werd (dank aan Marc van Beijsterveld die dit schema uit de archieven van de NBB opdiepte). Zie verder de tabel hieronder.
Bij een Howell-6 of Howell-10 lukt het niet zonder meer een perfecte balans
te bereiken. Hier is echter nog wel een mouw aan te passen bijvoorbeeld met
schema's waarin het aantal ronden twee keer zo groot is, of waarin per
ronde 2 sets spellen gespeeld worden. Zulk een Howell-6 met Qf=100 vindt men in "Movements a Fair Approach".
Dit schema heeft Qf1av= 66.67, Qf1max= 100. Een belangrijke verbetering kan hier bereikt worden door optimalisatie van de "vacancy quality".
Met behulp van programma "balans" vindt men in no time een superperfect schema met Qf1av=100. Dat gaat dan wel ten koste van af en toe draaien
van windrichting halverweg de ronde. Ziehier een superperfecte variant
met slechts één ronde met draaien.
Van Joop van Wijk zijn deze Howell-10 in 3 zittingen van 6 ronden
en Howell-10 in 2 zittingen van 9 ronden
en Howell-10 in 1 zitting van 9 ronden,
alle 3 eveneens met Qf=100. De laatste met 2 spelgroepen per ronde. De vacancy quality is
bij deze 3 schema's al goed, en slechts marginaal te verbeteren.
4 paren 3 ronden 1 zitting Qf=100 4 paren 6 ronden 1 zitting Qf=100 paren ontmoeten elkaar 2 keer 6 paren 5 ronden 1 zitting Qf=100 2 spelgroepen per ronde 8 paren 7 ronden 1 zitting Qf=100 of deze 10 paren 9 ronden 1 zitting Qf=100 2 spelgroepen per ronde 10 paren 18 ronden 2 zittingen Qf=100 10 paren 18 ronden 3 zittingen Qf=100 12 paren 11 ronden 1 zitting Qf=100 12 paren 11 ronden 2 zittingen Qf=100 12 paren 11 ronden 3 zittingen Qf=100 14 paren 13 ronden 1 zitting Qf=100 2 spelgroepen per ronde 14 paren 26 ronden 2 zittingen Qf=100 16 paren 15 ronden 1 zitting Qf=100 16 paren 15 ronden 2 zittingen Qf=100 16 paren 15 ronden 3 zittingen Qf=100 zie ook de tabel Monsterschema's voor schema's voor meerdere zittingen met een bijna perfecte balans,
Het gedrag van schema's met een perfecte balans in een wedstrijd met 2 sterke paren is interessant genoeg om een aparte pagina aan te wijden. Het blijkt dan dat er ook nog gradaties in perfectie zijn. Zie Perfecte en Superperfecte Schema's.
Het concept "balans" is waarschijnlijk niet veel jonger dan het wedstrijd-bridge. De mathematische grondslag voor de hier gegeven beschouwingen over de balans werd gelegd door John Manning (1979) in een artikel onder de titel The Mathematics of Duplicate Bridge Tournaments.
In het boek : "Movements - a fair approach" (1994) vindt men ook discussielijnen die zouden hebben kunnen leiden tot het boven geschetste model, maar zoals gezegd, bij de praktische toepassing laten de auteurs het afweten. Het werk van John Manning was blijkbaar onbekend aan deze auteurs.
Paul Vermaseren ontwikkelde in de 80-er jaren een effectief computerprogramma voor het optimaliseren van Howellschema's. Van zijn hand verschenen in de WekoWijzer een aantal perfect gebalanceerde Howells in meerdere zittingen, onder andere de in de hierboven opgenomen Howell-16 in 3 zittingen. Dit werk kreeg niet de aandacht die het verdiende. Zo zien we in het Groot Schemaboek 2002 weer een aantal minder goede Howells in meerdere zittingen
De hier gebruikte "kleinste kwadraten" behandeling kwam ik tegen in het Groot Schema Boek van Schiereck (2002), en op een webpagina van John Manning. Beide ontwikkelingen vonden klaarblijkelijk onafhankelijk van elkaar plaats. Zoals ook uit de openingszin van het Groot Schema Boek blijkt is het Gerrit van der Velde die voor dit aspect verantwoordelijk is. Hij ontwikkelde in de 90-er jaren een computerprogramma om de balans te optimaliseren, waaraan een aantal geoptimaliseerde schema's in dat boek te danken zijn, en waar ook in "balans" van gebruik gemaakt wordt.
De "1 per 8" regel voor het optimale aantal draaironden bij Mitchellschema's vindt men
al in het bovengenoemde artikel van Manning (1979), en werd in wijdere kring bekend
door het werk van
John Probst.
De kleinste kwadratenmethode voor het karakteriseren van de balans, en
aanbevelingen voor het optimale aantal "arrow switches" werden ook gegeven door
Ross Moore (1992).
Toch sijpelt dit resultaat
maar langzaam in Nederland door.
Het idee "vacancy quality" en toepassing er van voor verdere verbeteringen kwam naar voren in discussies met Ulrik Dickow. Het is voor het eerst gebruikt in het huidige werk.